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1、第22课 特殊三角形,基础知识 自主学习,1等腰三角形：(1)性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形 2等边三角形：(1)性质： 相等，三内角都等于 ；(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60的等腰三角形是等边三角形,要点梳理,两腰,两底角,三边,60,3直角三角形：在ABC中，C90.(1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2b2 ；(2)角与角的关系：AB ；(3)边与角的关系： 若A30，则ac，bc；若ac，则A30；若A45，则abc；若ac，则A45；斜边上的中线mcR.其中R为三
2、角形外接圆的半径(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形,c2,90,难点正本 疑点清源1等腰三角形的特殊性“等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据“等 角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明 两条线段相等的重要依据等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角 形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、 腰、底边因为等边三角形任何一个角都为60，任何一条边都 可看做腰或底边解答等腰三角形的有关
3、问题时，常作辅助线，构造出“三线合 一”的基本图形在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅 助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条 边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并 且垂直对边等等，这些都是不正确的,2直角三角形的特殊性直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非 常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透 着数形结合、方程思想在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角 三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角 边还是斜边，则需要分类讨论勾股定理的逆定理是把数转化为 形，是通过计算判定一个三角形是否为直
4、角三角形实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直 角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形若图形中有特殊 角，如30、45、60的角，在作辅助线时，要注意保留其完 整性，以便应用特殊三角形的性质,基础自测,1(2011济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是( )A15 cm B16 cmC17 cm D16 cm或17 cm答案 D解析 这个三角形的周长是55616或66517.,2(2011铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )A等腰三角形两底角相等B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C等腰三角形是中心对称图形
5、D等腰三角形是轴对称图形答案 C解析 等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形,3(2011芜湖)如图，已知ABC中，ABC45， F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为( )A2 B4 C3 D4 答案 B解析 在RtABD中，ABD45，可得ADBD，易证BDFADC，所以DFCD4.,5(2011鸡西)如图，在RtABC中，ABCB，BOAC，把ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论：tanADB2；图中有4对全等三角形；若将DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；BDBF；S四边形DFOESAOF，上述
6、结论中正确的个数是( )A1个 B2个 C3个 D4个,答案 C,题型分类 深度剖析,【例 1】 (1)方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )A12 B12或15 C15 D不能确定答案 C解析 解方程x29x180，得x13，x26，周长为36615，应选C. (2)如果等腰三角形的一个内角是80，那么顶角是_度答案 80或20解析 顶角是80，或当底角是80时，顶角是18028020. 探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论,题型一 等腰三角形有关边角的讨论,知能迁移
7、1 (1)(2011株洲)如图， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.求ECD的度数；若CE5，求BC长,解 解法一：DE垂直平分AC，CEAE，ECDA36. 解法二：DE垂直平分AC，ADCD，ADECDE90.又DEDE，ADECDE，ECDA36.,解法一：ABAC，A36，BACB72.ECDA36，BCEACBECD36，BEC180367272B， BCEC5.解法二：ABAC，A36，BACB72， BECAECD72， BECB，BCEC5.,(2)(2011烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为_答案 4或6解析
8、 等腰三角形的底边为4；等腰三角形的两腰为4时，则底边等于14446.,题型二 等腰三角形的性质,【例 2】 如图，在等腰RtABC中，BAC90，点D是BC的中点，且AEBF，试判断DEF的形状,解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！,解：连接AD，在等腰RtABC中，AD是中线，ADBC，DAEBAC45，ADBD.又BC45，BDAE.2分在BDF和ADE中，BDFADE(SAS)4分DFDE，12.又3190，2390，即EDF90.DEF也是等腰直角三角形6分,探究提高 作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一,知能迁移2 已知：如图，D
9、是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DEDF？并加以证明,解 当点D在BC的中点时，DEDF.ABAC，BC.DEAB，DFAC，DEBDFC90.点D是BC的中点，BDCD，BDECDF(AAS)，DEDF.,题型三 等边三角形,【例 3】 (1)已知：如图，P、Q是ABC边BC上两点，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度数,解 APPQAQ，APQ是等边三角形PAQ60，APQ60.APBP，BBAP6030.同理：CCAQ30，BAC306030120.,(2)(2010大兴安岭)如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、
10、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC.其中正确结论的个数( )A1个 B2个 C3个 D4个答案 D,解析 由BCDACE，可得AEBD成立；由ACGBCF，可得AGBF成立；ACGBCF，CGCF，又ACD60，FCG是等边三角形，CFG60ACB，FGBE成立；过C画CMBD，CNAE，垂足分别是M、N，BCDACE，CMCN，点C在BOE的角平分线上，OC平分BOE，即BOCEOC成立,探究提高 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让
11、我们轻松找到证明全等所需的条件,知能迁移3 如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F.(1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数,解 (1)在等边ABC中，ABAC，BACCBA60，又BDAE，ABDCAE，ADCE.(2)ABDCAE，BADECA.DFC是AFC的外角，DFCECADACBADDACBAC60.,题型四 直角三角形、勾股定理,【例 4】 (1)如图，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( )A2 B2 C4 D7答
12、案 A,(2)如图，在钝角三角形ABC中，BC9，AB17，AC10，ADBC，交BC的延长线于D，求AD的长,探究提高 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法,知能迁移4 (1)如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A4 B6 C16 D55答案 C,(2)(2011鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为_cm2.,答题规范,考题再现 在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求A
13、BC的度数 学生作答 解：如图1，在RtBHD和RtACD中，CCAD90，CHBD90，HBDCAD.又BHAC，BHDACD，BDAD.ADB90，ABC45.,9三角形的高可能在形外,图1,规范解答解：这里的ABC有两种情况，ABC是锐角(图1)或ABC是钝角(图2)如图2，在RtBHD和RtACD中，易得DCADHB.又ACBH，DHBDCA，ADDB，DBA45，ABC135.综上：ABC45或ABC135.,图2,老师忠告 1同学们都知道，三角形的高有可能在形外，但在实际解题中，常因忽略这一点而造成错误为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢？一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势，一画三角形就不由自主地画成锐角三角形，从而造成漏解的失误 2在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况，有些命题在一种情况下成立是真命题，而在另一种情况下就可能不成立，是假命题,10易出错的等腰三角形问题,考题再现 已知ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求BAC的度数 学生作答,图3,规范解答 解：题目中并没有指明BC是等腰ABC的底或腰当BC为底时，可求得BAC90；当BC为腰时，还应对B的大小进行讨论：,
