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1、188 最小二乘估计最小二乘估计1了解最小二乘法的思想 2能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程最小二乘法 求线性回归直线方程ybxa时，使得样本数据的点到它的_最小的方法叫 做最小二乘法其中a，b的值由以下公式给出： Error! a，b是线性回归方程的系数线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地 作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程因此在学习过程中，要重视信息技术的应 用 【做一做】已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之 间的回归直线方程为y0.9741.215x，计算x2 时，总成本y的估计值为_什么是最小二
2、乘法？ 剖析：结合最小二乘法的发展过程和在实际生活中的应用来了解最小二乘法最小二 乘法的思想是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简单的方法 求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，是处理各种观测数据，测量方差 的一种基本方法，是一种数学优化技术在统计中，主要是利用最小二乘法求线性回归方 程，这是最小二乘法思想的应用最小二乘法不仅是数理统计中一种常用的方法，在工业 技术和其他科学研究中也有广泛应用，比如洪水实时预报等等题型一 阅读理解题 【例题 1】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计 资料： x23456 y2.23.85.56
3、.57.0 若由资料知，y与x线性相关 (1)求回归直线方程ybxa中a与b的值； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 分析：先求出回归直线方程，若回归直线方程为ybxa，则在xx0处的估计值为 y0bx0a. 反思：知道x与y线性相关，就无需进行相关性检验，否则，应先进行相关性检验， 若两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间的线性相关关系不显著，即使求出回归直 线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的 题型二信息提炼题 【例题 2】某产品的原料中两种有效成分 A 和 B 的含量如下表所示： 12345678910 A(%)241523191611201617
4、13 B(%)67547264392258434634 用x(%)表示 A 的含量，y(%)表示 B 的含量 (1)作出散点图；2(2)y与x是否线性相关？若线性相关，求出回归直线方程(结果保留到小数点后 4 位 小数) 分析：作出散点图，可判断y与x是否线性相关，如果线性相关，可用计算器求a，b 的值 反思：求回归直线方程，通常是用计算器来完成的在有的科学计算器中，可通过直 接按键得出回归直线方程中的a，b.如果用一般的计算器进行计算，则要先列出相应的表 格，有了表格中的相关数据，回归直线方程中的a，b就容易求出来了 题型三 线性回归分析的应用 【例题 3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生
5、产甲产品过程中记录的产量x(吨)与 相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据： x3456 y2.5344.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(2)求出的线性回 归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：32.5435464.566.5) 分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标在平面直角坐标系内画 散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值；(3)实际上就是求当x100
6、时， 对应的y的值 反思：求线性回归直线方程的步骤如下： 列表表示xi，yi，xiyi；计算 ，iyi；x yn i1x 2in i1x代入公式计算b，a的值； 写出线性回归方程 可以利用线性回归方程进行预测变量的值1 某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) Ay10x200 By10x200 Cy10x200 Dy10x200 2 下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点( ) x0123 y1357 A(2,2) B(1.5,2) C(1,2) D(1.5,4) 3 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程yabx中，回归系数b( )
7、A小于 0 B大于 0 C等于 0 D以上都有可能 4 给出下列说法：回归方程适用于一切样本和总体； 回归方程一般都有局限性； 样本取值的范围会影响回归方程的适用范围； 回归方程得到的预测值是预测变量的精确值 其中正确的是_(将你认为正确的序号都填上) 5 某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见下表： x34567893y66697381899091已知：，7 2=1=280i ix7=1=3487ii ix y(1)求，；xy (2)画出散点图； (3)求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程答案：答案： 基础知识梳理距离的平方
8、和 bn i1xiyinxyn i1x2inx2 yx 【做一做】3.404 由回归直线方程y0.9741.215x得，当x2 时，总成本y的估 计值为y0.9741.21523.404. 典型例题领悟 【例题 1】解：解：(1)列表： i12345 xi23456 yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.0 4， 5xyxi290，xiyi112.35i15i1 其中，b1.23，a b51.2340.08.所5i1xiyi5xy5i1x2i5x2112.35 4 5 905 4212.3 10yx 以a0.08，b1.23. (2)回归直线方程为y1
9、.23x0.08.当x10 时，y1.23100.0812.38，即使 用年限为 10 年时，维修费用约为 12.38 万元 【例题 2】解：解：(1)散点图如图所示4(2)因为散点图中各点大致都分布在一条直线附近，所以y与x之间存在线性相关关系经计算可得 17.4， 49.9，x3 182，xiyi9 228，故bxy10i1 2i10i13.532 383.532 10i1xiyi10xy10i1x2i10x29 22810 17.4 49.9 3 18210 17.42 4，a b49.93.532 3817.411.563 4，所以所求回归直线方程为y3.532 yx 4x11.563
10、 4. 【例题 3】解：解：(1)散点图如图所示(2)由题意，得xiyi32.5435464.566.5，4i14.5，x3456 43.5，y2.5344.5 4x3242526286，4i1 2ib0.7，66.54 4.5 3.5 864 4.5266.563 8681 a b3.50.74.50.35.yx 故线性回归方程为y0.7x0.35. (3)根据回归方程可预测，现在生产 100 吨甲产品的生产能耗为 0.71000.3570.35(吨标准煤)， 故预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前减少了 9070.3519.65(吨标准煤) 随堂练习巩固 1A 商品销售量y(件)与
11、销售价格x(元/件)负相关， b0，排除选项 B，D. 又x0 时，y0，5答案为 A. 2D 回归直线方程必过中心点( ， )，即(1.5,4)，故选 D.xy 3D 4 样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的 函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性所以错5解：解：(1) 6(件)，x3456789 779.86(元)y66697381899091 7559 7 (2)散点图如下：(3)由散点图知，y与x有线性相关关系 设回归直线方程为ybxa.由x280，xiyi3 487， 6， ，得7i1 2i7i1xy559 7b4.75，3 4877 6 559 7 2807 36133 28a64.7551.36，559 7 故回归直线方程为y4.75x51.36.
