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1、12016-20172016-2017 学年高中数学学年高中数学 阶段质量评估阶段质量评估 2 2 北师大版选修北师大版选修 4-54-5一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明 1 1)时，第一步应验证不等式( )1 21 31 2n1A1 1，n取的第一个自然数为 2，左端分母最大的项为 ，故1 2211 3选 B答案： B2用数学归纳法证明 123252(2n1)2n(4n21)的过程中，由nk递推1 3到nk1 时，等式左边增加的项为( )A(2k)2 B(2k3)2C(2k1)2 D(2k2)
2、2解析： 把k1 代入(2n1)2得(2k21)2即(2k1)2，选 C答案： C3若abcd，x(ab)(cd)，y(ac)(bd)，z(ad)(bc)，则x，y，z的大小顺序为( )Axd且bc，则(ab)(cd)b且cd，则(ac)(bd)n2，n的第一个取值应当是( )A1 B大于 1 小于 10 的某个整数C10 D小于 10 的某个整数解析： 易知当n2 或n4 时，2nn2，观察y2x及yx2的函数图象，易知当n4 时，2nn2，故n的第一个值应当是 5，故选 B答案： B6设a，b，c为正数，ab4c1，则2的最大值是( )abcA B53C2 D332解析： 1ab4c()2
3、()2(2)2abc ()2()2(2)2(121212)1 3abc(2)2abc1 3(2)23，即所求为.abc3答案： B7用数学归纳法证明： (n2，nN N)1 n11 n21 3n5 66证明： (1)当n2 时，左边 ，不等式成立1 31 41 51 65 6(2)假设当nk(k2，kN N)时命题成立即 .1 k11 k21 3k5 6则当nk1 时，1 k111 k121 3k1 3k11 3k21 3k11 k11 k21 3k(1 3k11 3k21 3k31 k1) 5 6(1 3k11 3k21 3k31 k1) .5 6(3 1 3k31 k1)5 6所以当nk1
4、 时不等式也成立由(1)、(2)可知，原不等式对一切n2，nN N均成立19(12 分)已知xyz1，求 2x23y2z2的最小值解析： 由柯西不等式，得2x23y2z2(2x23y2z2)6 11(1 21 31)26 11(2x22)(3y33)z1(xyz)2，6 116 112x23y2z2.6 11当且仅当 ，2x223y33z 1即x，y，z时取等号3 112 116 112x23y2z2的最小值为.6 1120(12 分)设a、b、c为正数求证：2.(a2 bcb2 cac2 ab)b2c2 bcc2a2 caa2b2 ab证明： 由对称性，不妨设abc0.于是abacbc，a2
5、b2c2.7故.由排序原理知：1 bc1 ca1 ab，a2 bcb2 cac2 abc2 bca2 cab2 ab，a2 bcb2 cac2 abb2 bcc2 caa2 ab将上面两个同向不等式相加，得2.(a2 bcb2 cac2 ab)b2c2 bcc2a2 caa2b2 ab21(12 分)设abcde且abcde1，求证：addccbbeea .1 5证明： 由于abcde，知abacbdcede，2(addccbbeea)a(de)b(ce)c(bd)d(ac)e(ab) (abcde)(de)(ce)(bd)(ac)(ab) .1 52 5addccbbeea .1 522(1
6、4 分)对于数列an，若a1a (a0，且a1)，an1a1.1 a1 an(1)求a2、a3、a4，并猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想解析： (1)a1a ，an1a1，1 a1 ana2a1a 1 a11 a1a1a，a21 aa a21a4a21 aa21a3a11 a2a21 aaa21 a4a21，a6a4a21 aa4a21同理可得8a4a8a6a4a21 aa6a4a21猜想ana2na2n2a21 aa2n2a2n41.a2n21 a21aa2n1a21a2n21 aa2n1(2)证明： 当n1 时，右边a1，等式成立a41 aa21a211 a假设当nk时(kN N*)，等式成立，即ak，则当nk1 时，a2k21 aa2k1ak1a11 aka21 aaa2k1 a2k21a21a2k21a2a2k1 aa2k21，a2k21 aa2k11这就是说，当nk1 时，等式也成立，根据、可知，对于一切nN N*，an成立a2n21 aa2n1
