《高考数学常考、易错数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学常考、易错数列（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、天利考试信息网 天时地利考无不胜 作者：刘永旺因为我不小心之数列-例谈高考数学常考、易错、失分点！【易错点27】在“已知nS，求na”的问题中 ,利用公式1nnnSSa时易忽略2n这个等式的适用范围. 例 28.（2005 高考北京卷）数列na前 n 项和ns且1111, 3nnaas。 （1）求234,aaa的值及数列na的通项公式。【易错点分析】此题在应用ns与na的关系时误认为1nnnass对于任意n 值都成立，忽略了等式中n 的取值范围从而得出数列na为等比数列的错误结论。本题的错误率相当高. 解析：易求得2341416, 3927aaa。由1111, 3nnaas得112 3nna
2、sn故111112 333nnnnnaassan得142 3nnaan又11a，213a,故该数列从第二项开始为等比数列故211142 33n nna n。【迷津指点】对于数列na与ns之间有如下关系：1112nnnsn a ssn利用两者之间的关系可以已知ns求na。但注意只有在当1a适合12nnnassn时两者才可以合并,否则要写分段函数的形式。【适用性练习】数列na满足11154, 3nnnaSSa，求na（答：14,1 3 4,2nnnan）（2004 全国理） 已知数列na满足112311,2312nnaaaaanan则数列na的通项为。提示 :将条件右端视为数列nna的前 n-1
3、项和利用公式法解答即可: 答案11!2 2nnann数列na满足12211125 222nnaaan，求na（答：114,1 2,2nnnan）已知数列na中，21a，前 n 项和nS，若nnanS2，求na（答：4(1)na n n）天利考试信息网 天时地利考无不胜 作者：刘永旺设数列na的前 n 项和为nS,且0na,111nnnSskak,试问数列na是否为等比数列 ?并说明理由答案 :不是等比数列,此数从第2 项起为等比数列.【易错点28】在数列求和过程中易忽视数列的通项及项数. 例 29. （06 北京卷） 设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（A）2(81
4、) 7n（ B）12(81) 7n（C）32(81) 7n（D）42(81) 7n【易错点分析】 易不加分析误认为fn 表示一等比数列的前n 项和而误选A.属于思维定势类的常见错误 . 解析：依题意，()fn为首项为2，公比为 8 的前 n 4 项求和，根据等比数列的求和公式可得 D 【迷津指点】【适用性练习】 在 数 列na中 ,13nnnaa, 求 通 项 ( 提 示 : 在 采 用 累 差 法 时 对 左 端 和 式 中 的21333n误认为有 n 项而产生错误 ) 答案 :1310031 2nna. 【易错点29】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况. 例 30. 求数列211,
5、na aa的前 n 项和【易错点分析】 本题一方面易忽略了对数列是否为等比数列的判断,事实上注意到当0a时,数列不是等比数列,另一方面易忽略对a 能否为 1 进行讨论 . 解析 :令211.nnsaaa, （）当0a时,1ns; （）当1a时nsn; （）当0a且1a时 ,11nnas a. 【迷津指点】解答此类问题时应首先判断或讨论数列是否为等比数列( 即数列中能否出现0项),对等比数列的求和一定要注意其公比为1 这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【适用性练习】（ 06 安徽卷试题改编）数列na的前 n 项和为nS，已知21nnS n, 若设1/,nn
6、nnnS fxxbfppR n，求数列nb的前 n 项和nT。解：由111nnnnSnfxxx nn，得/nnnbfpnp。而23123(1)nn nTpppnpnp，当0P时,0nT, 当1P时,12nn n T, 当1,0pp时, 利用错位相减天利考试信息网 天时地利考无不胜 作者：刘永旺234123(1)nnnpTpppnpnp，23111(1)(1) 1n nnnnnppP Tpppppnpnp p故12(1)11nnnppnpT Pp. （ 2005 高考全国卷一第一问）设等比数列na的公比为q，前 n 项和0ns（ 1）求 q 的取值范围。答案：1,00,（2005 全国卷一理）
7、已知1221nnnnnnuaabababb,0,0nNab当ab时，求数列na的前 n 项和ns答案：1a时21221221nnnnanaaa s a当1a时32nnn s.数列na中，11a，22a，数列1nnaa是公比为q（0q）的等比数列。求数列na的前n2项的和nS2解: 由数列1nnaa是公比为q的等比数列，得q aaq aaaannnnnn2121，这表明数列na的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q， 又11a，22a，当1q时，nS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaaqqqqaqqannn1)1(31)1(1)1(21，
8、当1q时，nS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222()1111(【易错点30】有关等差或等比数列的概念及性质的理解例 31. 关于数列有下列四个判断, 其中正确命题的序号是 . 天利考试信息网 天时地利考无不胜 作者：刘永旺若, ,a b c d成等比数列 , 则,ab bc cd也成等比数列; 若数列na既是等差数列也是等比数列 , 则1nnaa; 数列na的前 n 项和为ns, 且1nnsaaR, 则na为等比数列 ; 数列na为等差数列 , 且公差不为零 , 则数列na中不会有mnaamn【易错点分析】对等差和等比数列的有关概念及性质
9、的理解与认识只是停留有表面上,不能据握其内含 ,即概念及性质的来龙去脉及其适作范围. 解析 :对于 , 对于特殊数列1,1,1,1即不成立 ,注意等比数列中不能出现零项; 对于若数列na既是等差数列也是等比数列, 则数列必为常数列;对于当0a时既不是等差数列也不是等比数列; 对于由函数的角度可知等差数列必为单调数列, 故数列中不可能出现相同的项 . 答案 : 【适用性练习】x=ab是 a、x、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件(答案 :D)已知数列 an是等比数列 ,则数列1nnaa（）A.一定是等比数列B.一定是等差数列C.一定不
10、是等差数列D.以上都不正确（答案:D）（ 06 黄岗统考）给出下列命题其中正确命题的序号是 . （1）如果命题P:2x是真命题 , 则命题Q:2x是真命题 ; （2）函数1 fxx x是奇函 数 , 且 在1 , 00 , 1 上 是 增 函 数 ; （ 3）1a且1b的 充 分 不 必 要 条 件 是22 110ab; （4）如果等差数列的前n 项和为ns, 等比数列的前n 项和为nT, 则232,kkkkksssss成等差数列 ,232,kkkkkTTTTT成等比数列 . ( 提示 : 选项（ 4）中对等比数列1,1,1,1结论就不成立 ) 答案 : （1）（ 06 黄岗统考）等比数列na
11、中37,aa为方程21040xx的两根 ,则159a a a的值为A.4 B.8 C.16 D.8（提示 : 由于2375542aaaa, 由但由于37100aa, 故370,0aa, 故必有50a, 即52a） .答案 :B. 【易错点31】利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1 开始）例 32、等差数列na的首项10a，前 n 项和ns，当lm时，mlss。问 n 为何值时ns最大 ? 天利考试信息网 天时地利考无不胜 作者：刘永旺【易错点分析】 等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数， 可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，
12、但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知ns=2111222nnddfnnadnan, 此函数是以n 为变量的二次函数，因为10a，当lm时，mlss故0d即此二次函数开 口向下 ，故由flfm得当 2lm x时 fx取得最大值， 但由于nN，故若lm为偶数， 当2lmn时，ns最大。当lm为奇数时，当12lmn时ns最大。【迷津指点】数列的通项公式及前n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。【适用性练习】（ 2001 全国高考题）设na是等差数列，ns是前 n 项和，且56ss，678
13、sss，则下列结论错误的是（）A、0dB、70aC、95ss D、6s和7s均为ns的最大值。答案： C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 已知 an 是等差数列，a1=-9,S3=S7, 那么使其前n 项和 Sn最小的 n 是（）A4 B5 C6 D7 解析：等差数列的前n 项和 Sn= 2dn2+(a 1- 2d)n 可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-90, S3=S7, 可表示如图，由图可知， n=5 273,是抛物线的对称轴，所以n=5 是抛物线的对称轴，所以n=5 时 Sn最小，故选B。【易错点32】在应用裂项方法求和时对裂
14、项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例 33、求nS 321121111, n3211【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n 项和公式得 2)1( 321nn n，) 111(2 )1(23211nnnnn， n 取1，2，3，, ，就分别得到3211, 211, 11，, ，nS) 111(2) 4131(2) 3121(2) 211(2 nn12) 111(2 nnn【迷津指点】 “裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个3
15、5 7 O n nS天利考试信息网 天时地利考无不胜 作者：刘永旺数（也可三个或更多）相乘， 且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些 特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。：如果数列 的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：111 (1)1n nnn； 1111()()n nkknnk；2211111() 1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1) 11nnnn nnnnn. 【适用性练习】（ 2005 济南统考）求和 121222nS 141422 161622 , 1)2(1)2(22nn答案： 71511 51311 31111nS, 1211211 nn 122nnn在数列na中， 11nnan，且 S，则n_（答： 99） ；求和：1111447(32)(31)nn（答： 31nn） ；【易错点33】易由
