单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用

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1、1,第三章1 单自由度体系的弹性地震反应分析与抗震验算,3.1概述 3.2单自由度弹性体系的地震反应分析 3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱,2,3.1 概述,3.1.1几个名词概念 1. 结构地震作用：地震时结构的质量所产生的惯性力。 2. 结构地震反应：由地震引起的结构振动。包括结构的位移反应、速度反应、加速度反应等。 3. 地震作用效应：地震作用在结构中所产生的内力和变形。,3,3.1.2 简述工程抗震理论的发展,一个世纪以来，结构地震反应计算方法的发展，大致可以划分为三个阶段： 静力理论阶段 反应谱理论阶段 动力理论阶段,3.1.2.1.第一阶段：静力理论阶段,1900年日

2、本学者提出震度法的概念。 认为水平最大加速度是地震破坏的重要因素。,4,(1),将地震时地面运动最大加速度与重力加速度的比值定,义为“水平震度”，即,震度法（静力法）,结构所受的水平地震作用，可以简化为作用于结构上的等效水平静力F，其大小等于结构重力荷载G的k倍，即,5,震度法的缺点,由式（2）可见，震度法存在如下重大缺点： （1）没有考虑结构的动力特性。 （2）认为地震时结构上任一点的振动加速度均等于地面运动的加速度，这意味着结构刚度是无限大的，即结构是刚性的。,3.1.2.2第二阶段：反应谱理论阶段,20世纪30年代美国首先提出地震反应谱的概念。 地震反应谱：单自由度弹性体系在地震作用下，

3、其最大的反应与自振周期的关系曲线称为地震反应谱。 制作地震反应谱的关键是必须有实测的地震波记录。美国和其他先后开展了强地震地面运动加速度过程的观测和记录（地震波记录）。,6,地震波记录,美国于1940年5月18日取得了具有强地震特性的El Centro地震波记录（最大水平加速度，附近的地震烈度为8度）。 其中加速度的单位1gal=1cm/s2。 1943年M. A. Biot发表了以实际地震记录求得的加速度反应谱。 50年代起，美国、前苏联和中国先后采用反应谱理论建立了抗震计算方法。,反应谱理论与振型分解法,由于反应谱理论正确而简单地反映了地震特性，以及结构的动力特性，从而得到了国际上广泛的承

4、认。实际上到50年代，反应谱理论已基本取代了震度法。 值得一提的是，结构力学的振型分解法的发展是使反应谱理论从单自由度推广到多自由度的关键。,7,3.1.2.3第三阶段：动力理论阶段,大量的震害分析表明，反应谱理论虽考虑了振幅和频谱两个要素，但只解决了大部分问题，地震持续时间对震害的影响始终在设计理论中没有得到反映。这是反应谱理论的局限性。 采用动力理论不仅可以全面考虑地震强度、频谱特性、地震持续时间等强震三要素，还进一步考虑了反应谱所不能概括的其它特性。,8,动力理论的作用, 采用地震加速度时程曲线输入，进行结构地震反应分析，可以全面考虑强震三要素的影响。 由于进行全过程分析，从而具体、详细

5、地给出从弹性阶段、弹塑性阶段、直到破坏等各个阶段的结构地震反应全过程。 能给出结构中各构件出现塑性铰的时刻和顺序，判明结构的屈服机制。 能确定地震时结构的薄弱层或薄弱部位。,9,震害分析实例,1976年7月28日唐山地震，天津第二毛纺厂的3层钢筋混凝土框架厂房，二层框架柱的上、下端，混凝土剥落，主筋外露，钢筋弯钩拉脱。 震后，对二层柱进行局部修复加固。同年11月15日宁河地震时，该厂房因底层严重破坏而全部倒塌。 事后，对该钢筋混凝土框架结构采用振型分解反应谱法进行抗震承载力验算。计算结果表明，各层承载力和变形均满足要求。,10,震害动力分析实例续,同时又采用时程分析法分析该结构，计算结果指出：

6、 （1）地震时顶层和底层均发生屈服。 （2）由于二层加固后的刚度远大于底层，底层刚度相对 柔弱而出现塑性变形集中的薄弱层，产生很大的侧 移，以致倒塌。 该震例说明，对于非等强多层结构，时程分析法明显优于反应谱分析法。,11,3.1.3 结构地震反应分析方法,目前，工程中求解结构地震反应的方法有两类： 1. 拟静力法，也称为等效荷载法。 通过反应谱理论将地震对结构的作用等效为静力荷载，按静力方法求解结构的内力和位移等。 2. 直接动力法或称为时程分析法。 通过输入地震波，对结构动力方程直接积分，求出结构的地震反应与时间变化的关系，得到结构地震反应的时程曲线。,12,3.2 单自由度弹性体系的地震

7、反应分析,3.2.1 计算简图 3.2.2 振动方程 3.2.3 自由振动（齐次解） 3.2.4 强迫振动（特解） 3.2.5 振动方程的通解 3.2.6 单自由度体系的地震反应 3.2.7 数值积分计算 3.2.8 数值积分计算举例,13,3.2.1 计算简图,14,3.2.2 振动方程,15,1. 刚度法,16,地震时，质点m的振动方程,根据达朗伯原理，脱离体m的平衡方程为 ：,上式即单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。,17,2. 柔度法,18,3. 振动方程的简化,19,3.2.3 自由振动（齐次解）,特征根：,1),不振动,2),20,一般工程为欠阻尼情况：,边界条件：,代入上

8、式：,代入上式导数式：,21,即自由振动位移方程（自由振动由初位移和初速度 ）,无阻尼（ ），,无阻尼自由振动的圆频率,22,位移时程曲线,比较上图中各条曲线： (1)无阻尼自由振动时，振幅始终不变。 (2)有阻尼自由振动，则是一条逐渐衰减的波动曲线。 (3) 阻尼越大，振幅衰减越快。,23,2. 单自由度体系的自振周期和自振频率,无阻尼单自由度体系 自振周期 自振频率,24,有阻尼单自由度体系,自振频率 则自振周期为,25,单自由度体系自振周期的计算公式,26,3.2.4 强迫振动（特解）,1. 瞬时冲量及其引起的自由振动,27,瞬时冲量及其引起的自由振动续,28,瞬时冲量及其引起的自由振动

9、续,29,瞬时冲量及其引起的自由振动续,30,振动方程的特解续,2. 振动方程的特解,31,振动方程的特解续,32,振动方程的特解续,33,振动方程的特解续,34,3.2.5 振动方程的通解,将齐次解（3-11）和特解（3-23）叠加即为振动方程的通解。即,35,3.2.6 单自由度体系的地震反应,36,( a ),37,38,单自由度体系的地震反应续,在实际结构中，一般阻尼比较小， ，取,同样略去微小量，则以上各式简化为：,39,以上4个公式即为单自由度体系在地震反应的位移、速度、加速度的计算公式。 以上公式表明： 地面运动加速度直接影响体系地震反应的大小。 对于不同的频率的体系，地面运动加

10、速度相同，则体系有不同的地震反应。 阻尼比的大小对体系的地震反应也有直接的影响。阻尼比愈大则弹性反应愈小。,40,3.2.7 数值积分计算,由于地震过程是随机的，故地面运动加速度极不规则，无法采用一个确定的函数来表达。所以地震反应公式只能通过数值积分法进行计算。 目前常用的做法是：首先将强震时记录下来的地面运动加速度时程曲线转化成对应于微小时段的一系列数值（即加速度记录数值化）；然后逐个时段进行数值积分，求出体系的位移、速度、加速度反应。 采用Duhamel积分的数值积分时，式（3-23）应改写成：,41,3.2.8 数值积分计算举例,已知一单自由度体系，质量m=2105 kg，结构刚度k=7

11、200kN/m，阻尼比=0.05。假定地面运动加速度时程曲线 如图。试用Duhamel积分的数值积分法求t=0.6s时质点的相对位移、相对加速度、绝对加速度和体系受到的地震作用。,42,数值积分计算举例解答,43,数值积分计算举例解答,44,数值积分计算举例解答,45,数值积分计算举例解答,46,3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱,47,3.3.1 水平地震作用的基本公式,任意时刻质点的最大绝对加速度 任意时刻质点上的水平地震作用 质点的最大绝对加速度 水平地震作用公式,48,1. 任意时刻质点的绝对加速度,49,2. 任意时刻质点上的水平地震作用,50,4. 水平地震作用公式,

12、当质点的最大绝对加速度Sa确定以后，即可得到水平地震作用的基本公式： 如上所述，由于地震过程是随机的，故地面运动加速度 极不规则，无法采用一个确定的函数来表达。所以质点的最大绝对加速度Sa只能通过数值积分法进行计算。,51,3.3.2 地震反应谱,定义 单自由度弹性体系在地震作用下，其最大反应与自振周期的关系曲线称为地震反应谱。 意义 当地震波确定之后，单自由度弹性体系的地震反应即位移反应、速度反应和加速度反应是自振频率和阻尼比的函数，而且随时间而变化。 但对于工程设计并不需要求出整个反应过程中的变化值，只要求出其中的最大绝对值。 地震反应谱就是用来求最大地震反应的。,52,工程上常用反应谱,

13、结构变形和内力与相对变形有关 地震时输入的能量与相对速度有关 地震引起的惯性力与绝对加速度有关 所以工程上常采用的反应谱有： 位移反应谱 Sd 速度反应谱 Sv 加速度反应谱 Sa,53,地震反应谱计算公式,当体系的阻尼比不太大时则有：,54,地震反应谱计算公式续,55,地震反应谱计算公式续,以上三种反应谱计算公式存在下列关系： 根据上式比例关系，如果已知其中一种反应谱，则可推算得其余两种反应谱。,56,地震反应谱曲线,57,反应谱制作过程,现在以加速度反应谱Sa为例说明反应谱的制作过程。,58,反应谱制作过程续,59,反应谱制作过程续,60,加速度反应谱的特点,如图是根据1940年埃尔森特罗

14、（El Centero）地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。,由图可以看出加速度反应谱曲线的特点： （1）加速度反应谱曲线为一多峰点曲 线。当阻尼比等于零时，加速度 反应谱的谱值最大，峰点突出。,但是，不大的阻尼比也能使峰点下降很多，并且谱值随着阻尼比的增 大而减小。 （2）当结构的自振周期较小时，随着周期的增大其谱值急剧增加，但至峰 值点后，则随着周期的增大其反应逐渐衰减，而且渐趋平缓。,61,加速度反应谱的应用,根据加速度反应谱曲线，对于任何一个单自由度弹性体系，如果已知其自振周期T和阻尼比，就可以从反应谱曲线中查得该体系在特定地震记录下的最大绝对加速度Sa。 Sa与质点质量m

15、的乘积即为水平地震作用的绝对最大值，即： F = m Sa （3.31） 水平地震作用F可以用于结构抗震设计。,62,3.3.3 标准反应谱,水平地震作用公式,63,地震系数 k,它表示地面最大加速度与重力加速度的比值，其值只与地震烈度的大小有关。值是反映地震的强烈程度的参数。 根据统计分析，烈度每增加一度，k 值大致增加一倍。 k 值见下表3.1,64,动力系数 ,它是单质点最大绝对加速度与最大地面加速度的比值。 值反映了结构的动力效应，它表示质点最大绝对加速度反应是地面最大加速度的几倍。 因为当 增大或减小时，Sa相应随之增大或减小，因此 值与地震烈度无关。 根据对不同烈度的地震记录的统计

16、和分析， 当结构阻尼系数 =0.05时，的平均最大值 max =2.25。,65,3.3.4 设计用反应谱,1. 地震影响系数 为了计算方便，抗震规范定义：单质点最大绝对加速度 Sa 与重力加速度 g 之比为地震影响系数 ，即,66,2. 设计用水平地震作用公式,因此，单质点弹性体系的水平地震作用可表示为：,67,3. 设计用反应谱,前面所述的反应谱为T-Sa曲线，而抗震规范所采用的反应谱是 T-(Sa/g)曲线，即T-曲线。本质上就是加速度反应谱。 设计用反应谱如图3.9所示。,68,设计用反应谱续,设计用反应谱曲线分为三段：,69,4. 反应谱曲线参数的说明,（1） 特征周期 Tg 特征周期 Tg与建筑场地有关，按建筑场地类别和特 征周期分区查下表(表3.2)。,70,反应谱曲线参数的说明续,(2)衰减指数 ,(3)直线下降段的下降斜率调整系数1,(4)阻尼调整系数2,