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1、联合分布边沿分布条件分布,第三章 多维随机变量及其分布,独立性随机变量函数的分布,本章着重讨论二维随机变量, 它的很多结论 不难推广到n 大于2的情形.,前面我们讨论了一个随机变量的情况,但在实际问题中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究儿童的身体发育情况，需要同时考虑身高X 和体重Y. 又如，考察某地区的气候情况，需要同时考虑气温X1，气压X2，风力X3和湿度X4四个随机变量.,二维随机变量,3.1,定义1 设X, Y 为定义在同一概率空间(, F, P)上 的二个随机变量, 则(X, Y)称为二维随机变量. （也称为二维随机向量）,定义2 设(X,
2、Y)为一个二维随机变量, 记,称二元函数F(x, y)为X与Y的联合分布函数,（或简称为(X, Y)的分布函数）.,显然,几何上, 若把(X, Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x, y)在(x, y) 处的函数值就是随,(参见图3.1),机点(X, Y)落在以(x, y) 为顶点、位于该点左下,方的无穷矩形内的概率.,联合分布函数F(x, y )具有下列性质：,对任意固定的x, 当y2y1时,., F(x, y)是变量x (或y) 的单调不减函数, 即,对任意固定的y, 当x2x1时,.,对任意固定的x,.,对任意固定的y,关于x和关于y均右连续, 即,;,.,(以上性质的证明略),
3、 有,对任意固定的,利用分布函数及其几何意义不难看出, 随机点,(X, Y)落在矩形域,内的概率为（如图）,（x2 ,y2）,（x2 ,y1）,（x1 ,y1）,（x1 ,y2）,y,y2,y1,x1,x2,x,O,0,可以证明，若二元实值函数F(x, y)具有以上,注: 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数必须满足,四条性质,而一维随机变量X的分布函数只须满足,三条性质.,四条性质，则必存在随机变量X 和Y ，使F(x, y),是(X, Y)的联合分布函数.,例1 判断二元函数,是否是某二维随机变量的分布函数.,F(x, y)对任意的x1x2 , y1y2, 应有,解: 作为二维随机变量的
4、分布函数,而本题中,若取,因此，函数F(x, y)不能作为某二维随机变量的 联合分布函数.,（满足性质13，但不满足性质4）,1 二维离散型随机变量,则称(X, Y)为二维离散型随机变量.,(X, Y)在各个可能取值处的概率为：,定义 若二维随机变量(X, Y)所取的值为有限多对,设二维离散型随机变量(X, Y)的所有可能取值为,或可列无穷多对,称,为(X, Y)的（联合）分布律，也称为（联合）概率函数.,与一维类似，(X, Y)的联合分布律还可以写成 如下表格形式：,(2),. 可以证明， 若数集,具有以上两条性质, 则它必可作为某二维,(X, Y)的分布律具有下列性质：,(1),离散型随机
5、变量的分布律.,例2 设(X, Y)的分布律为,求a的值.,或,.,解：由分布律性质,所以,即,（负值舍去）,的联合分布律可求得它的联合分布函数F(x, y).,此时有,根据(X, Y)的联合分布函数F(x, y)的定义, 由(X, Y),.,例3 设(X, Y)的,求:,(1) PX=0,(2) PY2,(3) PX 1 ，Y2,(4) PX+Y=2,分布律为,解: (1),且事件X=0,Y=1, X=0,Y=2, X=0,Y=3,两两互不相容, 所以,PX=0=,=0.1+0.1+0.3=0.5,X=0=,X=0, Y=1X=0, Y=2X=0, Y=3,PX=0, Y=1+,P X=0,
6、 Y=2+,PX=0, Y=3,且事件,两两互不相容,X=0, Y=1, X=1, Y=1, X=0, Y=2,X=1, Y=2,所以,(3),且事件,所以,(4),互不相容,解:,X与Y的可能值均为1, 2, 3, 利用概率乘法公式,.,例4 现有1, 2, 3三个整数, X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数, Y 表示从1至X中随机抽取的一个整数, 试求(X, Y)的分布律.,可得(X, Y)取各对数值的概率分别是,类似地有,而X=1,Y=2,及X=1,Y=3, X=2,Y=3,为不可能事件, 所以其概率为零, 即,(X, Y)的分布律为,例5,(二维两点分布),设X, Y由下表给出,二
7、维两点分布显然满足联合分布率的两条性质.,称（X, Y）服从二维两点分布.,( 0p0, y0时，,其他区域,从而,设二维随机变量(X, Y)的分布函数为,求：(1)常数a, b, c; (2) (X, Y)的概率密度,；,解：(1)由分布函数的性质知,例7,从上面第二式 得,从上面第三式 得,再从上面第一式 得,从而概率密度函数为,定义 设D为平面上的有界区域, 其面积为S且,下面介绍两种重要的二维连续型随机变量的分布：,均匀分布与正态分布,则称(X, Y)服从区域D上的均匀分布,S0, 如果二维随机变量(X, Y)的概率密度为,记作(X, Y)UD,.,.,两个特殊情形：,此时,(1) D
8、为矩形区域,(2) D为圆形区域, 如(X, Y)在以原点为圆心,R为半径的圆域上服从均匀分布,此时,例8 设(X, Y)服从下列区域D上（如图）的均匀分布,求:,.,解：如图, D的面积S=,所以(X, Y)的概率密度为,事件,意味着随机点落在阴影区域,其概率为：,其中D:,都是常数, 且,则称(X, Y)服从二维正态分布, 记为,若二维随机变量(X, Y)概率密度为：,(X, Y),二维正态分布的图形是曲面,其中,显然f(x, y) 0,下面证明,令,先计算,记,所以,同样可得,若令,例9,设函数g(x)满足g(x)0 ，且,问,是否为某个二维连续型(X, Y)的联合密度函数？,解：,显然
9、f (x, y) 0,下面证明,所以，,令,是联合密度.,f (x, y),例10,设二维随机变量(X, Y)具有概率密度,(1) 求分布函数F(x, y); (2) 求概率PYX,解:,F(x, y)=,即有,F(x, y),(1),(2) 将(X, Y)看作是平面上随机点的坐标，即有,YX=(X, Y)G,其中G为平面xOy上直线y=x及其下方的部分，于是,PYX=P(X, Y)G=,3.2 边沿分布,定义,设(X, Y)的联合分布函数为,F(x, y),F1(x) F(x, +),F2(y) F(+, y),令,分别称F1(x) 和F2(y) 为F(x, y)关于X和Y的边沿,根据定义可
10、知：,分布函数 .,由此可见，F(x, y)关于X 和Y 的边沿分布函数,下面分别研究连续型和离散型的边沿分布：, 对于二维连续型随机变量(X, Y) , 若(X, Y)的联合概率密度为f(x, y)，,则,分别称为(X, Y)关于X 和Y的边缘概率密度，,即单个随机变量X 和Y的概率密度.,就是单个随机变量X 和Y 的分布函数., 对于二维离散型随机变量(X, Y) , 若(X, Y)的联合概率函数为,显然有,同理,为关于X的边沿分布律，,记为,称,即,为关于Y 的边沿分布律.,同样，称,显然，,关于X或Y的边沿分布律，,随机变量X 或Y 的分布列.,也就是单个,因此，,边沿分布律满足：,例
11、11,1 2 . n,1 2 . n,Y,X,. .,设关于X和Y的联合分布律如下表：,例12 求例4中(X, Y)关于X和Y的边缘分布律.,解:,X和Y的可能取值均为l, 2, 3.,(X, Y)关于X的边缘分布律为：,(X, Y)关于Y的边缘分布律为：,可以将分布律与边缘分布律写在同一张表上,值得注意的是：对于二维随机变量(X, Y),虽然由它的联合分布可以确定它的两个边缘分,布,但在一般情况下, 由 (X, Y)的两个边缘分布是,不能确定(X, Y)的联合分布的.,例13 设盒中有2个红球, 3个白球, 从中每次任取一球, 连续取两次, X, Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数, 分
12、别对有放回摸球与不放回摸球两种情形求出(X, Y)的联合分布律与边缘分布律.,解： (1)有放回抽样,PX=0,Y=0=,PX=0,Y=1=,事件X=i与Y=j独立(i, j=0,1)，所以,PX=1,Y=0=,PX=1,Y=1=,有放回摸球情形,(2) 不放回抽样,类似地有,不放回摸球情形,比较两表可看出：在有放回与不放回两种情况下,(X, Y)的边沿分布律完全相同, 但联合分布律却不,相同, 这表明(X, Y)的联合分布不仅反映了两个分量,的概率分布, 还反映了X与Y之间的关系.,若两个分量的概率分布完全相同, 但分量之间的关系,却不同, 则它们的联合分布律也会不同. 因此在研究,二维随机
13、变量时, 不仅要考察两个分量X与Y各自的,个别性质, 还需要考虑它们之间的关系,即应将(X, Y),作为一个整体来研究.,例14,若(X, Y)服从矩形区域上的均匀分布,即联合密度为,容易证明，,关于X的边沿密度为,关于Y的边沿密度为,例15,若(X, Y )服从单位圆上的均匀分布,即联合密度为,求边沿密度.,解：,当|x|1时，,f (x,y)=0,所以,当|x|1时，,即,同理可得,注： 1.矩形区域,2.单位圆上的均匀分布的边沿分布不是一维均匀分布.,上的均匀分布的边沿分布是一维均匀分布.,例16,若(X, Y),前面已经证明,X,Y,1. 边沿分布就是普通的分布，并无特殊的 意义 . 只是说明，这个分布是从联合分布 派生出来的.,注：,从联合分布可以得到其任一分量的边沿 分布，但反之不一定.,2.,3.3 条件分布,由事件的条件概率引出随机变量的条件分布.,一个随机变量或向量X 的条件概率分布，就是,例如，考虑一大群人，从其中随机抽取一个，,在某种给定的条件下, X 的概率分布. 它一般采取,
