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1、广东北江中学2013 届高三理科数学补充讲义抛物线基础第1 页 共 13 页第九单元第 5 讲教师版抛物线 (3 课时) 一基本理论与方法； 抛物线的定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p0) （ 2p,0 ）x=- 2py2=-2px(p0) （- 2p,0 ）x= 2px2=2py(p0) （ 0, 2p）y=- 2px2=-2py(p0) （0,- 2p）y= 2p(二)求抛物线方程的方法：待定系数法：定开口方向，定P 值。定义法：断定轨迹是抛物
2、线后，再用待定系数法。处理直线与抛物线位置关系的基本途径：消元得关于x（)y的一元二次方程；若涉及到求交点数，求参数的取值范围，用判别式定理；涉及弦长，弦中点，中点弦等问题考虑用韦达定理；涉及焦点弦的问题，一般用定义。二题型分析题型 1.抛物线的定义及其应用题 1.（1） (2011 辽宁 )已知 F 是抛物线y2x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB 的中点到 y 轴的距离为 ()A.3 4B1 C.54D.74审题视点 由抛物线定义将|AF|BF|转化为线段AB 的中点到准线的距离即可解析广东北江中学2013 届高三理科数学补充讲义抛物线基础第2 页 共
3、13 页设抛物线的准线为l，作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，由抛物线的定义知|AA1| |BB1|AF|BF| 3，则 AB 的中点到 y 轴的距离为1 2(|AA1|BB1|)145 4. （2）已知点P是抛物线24yx上的动点，点P在 y 轴上的射影是M ，点 A 的坐标是（ 4，a） ，则当|4a时，|PAPM的最小值是。【答案】291a【解析】当4x时，24416y，所以4y，即4y，因为|4a，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线1x，由抛物线的定义可知1PNPMPF, 当，三点,A P F共线时，|PAPF最小，此时为|PAPFAF，又焦点坐标为(1,F,所以222(
4、41)9AFaa， 即1P MP A的 最 小 值 为29a， 所 以P MP A的最小值为291a。题 2.已知 y 轴右侧一动圆1C 与一定圆4)2(:22 2yxC外切，也与y 轴相切 . （1）求动圆1C 圆心 M 的轨迹 C；（2）过点 T（ 2，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点， 求一点)0,(0xE，使得AEB是以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形。解（ 1）由题意知动点M 到定点（ 2,0）与到定直线2x的距离相等，则动点M 的轨迹是广东北江中学2013 届高三理科数学补充讲义抛物线基础第3 页 共 13 页以定点（2,0）为焦点，定直线2x为准线的抛物线。所以点
5、M的轨迹方程为.82xy 4 分又点 M 在原点时，圆并不存在，所以，动点M 的轨迹 C 是以（ 0，0）为顶点，以（ 2，0）为焦点的抛物线，除去原点. 5 分（2）设直线)1(,0168,8,2:22myyxymyxl得代入).(11,064642mmm或解之得 6 分设) 1(,),(),(212211是方程则yyyxByxA的两个实数根，由韦达定理得16,82121yymyy， 7 分所以，线段AB 的中点坐标为),4,24(2mmF而,1184)(1|22212212mmyyyymAB 8 分x 轴上存在一点E，使 AEB 为以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形，ABEF，且ABEF
6、 10 分直线 EF 的方程为：)24(42mxmmy令0y得 E 点坐标为)0,24(2m，则14|2mEF所以.118 2114222mmm解之得2m，则 E 点坐标为（ 10,0） 12 分题型 2.抛物线的标准方程及性质题 3. (1)(2011 南京模拟 )以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(2， 4)的抛物线方程为 _(1)y2 8x 或 x2 y解析(1)由于点 P 在第三象限当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y2 2px(p0)，把点 P(2， 4)代入得： (4)2 2p( 2)，解得 p4，抛物线方程为y2 8x. 当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x2 2py(p0
7、)，把点P(2， 4)代入得： ( 2)2 2p(4)解得 p12.抛物线方程为x2 y. 综上可知抛物线方程为y2 8x 或 x2 y. (2)(2010 浙江)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线广东北江中学2013 届高三理科数学补充讲义抛物线基础第4 页 共 13 页上，则 B 到该抛物线准线的距离为_(2)抛物线的焦点F 的坐标为p 2， 0 ，则线段FA 的中点 B 的坐标为p 4， 1 ，代入抛物线方程得 1 2pp 4，解得 p2，故点 B 的坐标为2 4，1，故点 B 到该抛物线准线的距离为2 42 23 2 4. 题型 3
8、.抛物线的综合应用题 4. 已知过抛物线y22px(p 0)的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且 |AB|9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若OCOA OB，求 的值审题视点 (1) 联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出 A、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解解(1)直线 AB 的方程是y2 2 xp 2，与 y22px 联立，从而有4x25pxp20，所以x1x25p 4，由抛物线定义得：|AB| x1x2p9，所以 p4，从而抛物线方程是y28x. (2)由 p
9、4,4x25pxp20 可简化为 x25x40，从而 x11，x24，y1 2 2，y24 2，从而 A(1， 2 2)，B(4,42)；设OC(x3，y3)(1， 2 2) (4,42)(4 1,4 2 22)，又 y2 38x3，即 22(2 1)28(4 1)，即(2 1)24 1，解得 0，或 2. 题 5.如图，已知抛物线y2=2x，过点 A(a, 0) (a0) 的直线与抛物线交于P、Q 两点， O 为坐标原点，过点Q 作 x 轴的平行线交直线L：x=a 于 M 点，1） 求证： P、 Q、 M 三点共线。2） 试判断以线段PQ 为直径的圆与直线的位置关系。广东北江中学2013 届
10、高三理科数学补充讲义抛物线基础第5 页 共 13 页解： 1）由题设可知直线不垂直于y 轴，故可设直线PQ：x=my+a 代入抛物线方程y2=2x 得 y2=2(my + a) 即 y22my2a=0 （2 分）设 P(121, 2yy), Q(222, 2yy) （3 分）则 y1y2= 2a y2=12ya（4 分）又 MQ x 轴， M 点坐标为（ a,y2）, （5分）kPO =POMOk yayk y1212,2 P、O、M 三点共线。 （7 分）1） 设 PQ 的中点为 N，则 N（m, m2+a）, （8 分）N 点到直线L 的距离d=m2+2a, （9分）r=21 21| 21
11、mPQ2121|myyam22（ 10 分）则： d2-r2=(m2+2a)(2a-1) 显然 m2+2a0，当 2a1 时， dr, 直线与圆相离；当 2a=1 时， d=r，直线与圆相切；当 2a1 时， dr, 直线与圆相交；题 6. 已知对称中心为坐标原点的椭圆1C与抛物线22:4Cxy有一个相同的焦点1F， 直线:2lyxm与抛物线2C只有一个公共点. （ 1）求直线l的方程；（ 2）若椭圆1C经过直线l上的点P，当椭圆1C的的离心率取得最大值时，求椭圆1C的方程及点P的坐标 . （1）解法 1：由22,4yxmxy消去y，得2840xxm. 1 分直线l与抛物线2C只有一个公共28
12、440m，解得4m. 3 分广东北江中学2013 届高三理科数学补充讲义抛物线基础第6 页 共 13 页F 1yxOPP0F2F1直线l的方程为24yx. 4 分解法 2：设直线l与抛物线2C的公共点坐标为00,xy，由214yx，得12yx，直线l的斜率0012xxkyx. 1 分 依题意得012 2x，解得04x. 2 分把04x代入抛物线2C的方程，得04y. 点00,xy在直线l上，424m， 解得4m. 3 分 直线l的方程为24yx. 4分（2）解法 1：抛物线2C的焦点为10,1F，依题意知椭圆1C的两个焦点的坐标为120,1 ,0,1FF. 5 分设点10,1F关于直线l的对称
13、点为100,Fxy，则0000121,1 24. 22yxyx 7 分解得004,1.xy点14,1F. 8 分直线l与直线12:1F Fy的交点为03,1 2P. 9 分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C的长轴长12122aPFPFPFPF124F F， 11 分其中当点P与点0P重合时，上面不等式取等号. 2a. 112e a. 故当2a时， m ax12e 12 分此时椭圆1C的方程为22 1 43yx， 点P的坐标为3,1 2. 14分 解 法2： 抛 物 线2C的 焦 点 为10 , 1F， 依 题 意 知 椭 圆1C的 两 个 焦 点 的 坐 标 为120,1 ,0,1FF5
14、分设椭圆1C的方程为222211 1yxa aa， 6 分由222224,1 1yxyxaa消去y，得22222541611160axaxaa.（* ） 7 分由222221614 541160aaaa， 8 分得425200aa. 9 分广东北江中学2013 届高三理科数学补充讲义抛物线基础第7 页 共 13 页解得24a. 2a. 10 分112e a. 11 分当2a时，m ax12e，此时椭圆1C的方程为221 43yx. 12 分把2a代入方程（ * ） ，解得32x，1y. 13 分点P的坐标为3,1 2. 14 分三练习1.【2012 高考真题安徽理9】过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,A B两点，点O是原点，若3AF，则AO B的面积为（）()A22()B2()C322()D22【答案】 C 【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。【解析】设(0)AFx及 BFm ；则点A到准线:1lx的距离为3，得：1323 coscos 3又232cos() 1cos2mmm，AO B的面积为1132232sin1(3) 22232SOFAB。2.【2012 高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x
