《高三复习正弦、余弦定理及解三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三复习正弦、余弦定理及解三角形（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 正弦、余弦定理及解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 .【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC的三个内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c. 1边的关系：(1) 两边之和大于第三边：abc，acb，cba；两边之差小于第三边：abc，acb，cba；(2) 勾股定理：ABC中，22290abcC. 2角的关系：ABC中，ABC, 222CBA=2 （1）互补关系：sin()sin()sinABCCcos()cos()cosABC
2、Ctan()tan()tanABCC（2）互余关系：sinsin()cos2222ABCCcoscos()sin2222ABCCtantan()cot2222ABCC3直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC中，90C（如图），有：ccCcbBcaA1sin,sin,sin，应用解三角形正弦定理余弦定理2 cos, cos, cos0baABCcc. 要点二、正弦定理、余弦定理1. 正弦定理：在个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等即：2 s i ns i ns i nabcRABC（R为ABC的外接圆半径）CRcBRbARasin2sin2sin22. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于
3、其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbc acbBac abcCab要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意边，求其他两边和另一角；已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状：
4、勾股定理是余弦定理的特殊情况，22290cos0abcCC. 在ABC中，222 222cos0902bcacbaAAbc，所以A为锐角；若222acb，222abc，同理可得角B、C为锐角 . 当222acb，222abc，222cba都成立时，ABC为锐角三角形在ABC中，若222 222cos0902bcacbaAAbc，所以A为钝角，则ABC是钝角三角形同理：若222acb，则ABC是钝角三角形且B为钝角；若222abc，则ABC是钝角三角形且C为钝角3 要点三、解斜三角形的类型1. 已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解. 2. 已知两边及其一边的对角，用正弦定理， 有解的情况可
5、分为以下情况，在ABC中，已知,a b和角A时，解的情况如下：(1)若 A 为锐角时：absin Aabsin A()bsin Aab()ab()无解一解 直角二解 一锐，一钝一解 锐角如图：(2)若 A 为直角或钝角时：ab ab ()无解一解 锐角3. 已知三边，用余弦定理有解时，只有一解. 4. 已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解. 要点诠释：1在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍. 2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关
6、系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能要点四、三角形面积公式1 12aSa h（ah表示a边上的高）；2111sinsinsin222SabCacBbcA；322sinsinsinSRABC；4 4abcSR；5. 1()()().()2Sp papbpcpabc4 要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角： 一般指
7、正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0 360 . 如图，点B的方位角是0135。3. 坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角； 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。坡比是坡角的正切值。【典型例题】类型一、利用正弦、余弦定理解三角形例 1. 在ABC中，已知下列条件，解三角形. （1）10a, 5 2b, 45A；（2）2 3a，62c，45B. 举一反三：【变式 1】在 ABC 中， a3，b2，B 45 .求角 A，C 和边 c. 【变式 2】在 ABC 中， A60 ，B75 ，a10，则 c 等于 ( )5 A5 2B10 2C.
8、10 63D5 6【变式 3】 在 ABC 中， AB2，AC3，1AB BC，则 BC() A.3B. 7C2 2D. 23例 2. 在 ABC 中，已知22tantanbaBA，试判断 ABC 的形状举一反三：【变式 1】在 ABC 中，若 2cosBsinA=sinC ，则 ABC 的形状一定是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形【变式 2】在ABC中，若 b=asinC,c=acosB，试判断ABC的形状类型二、解三角形及其综合应用例 3.在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知1tan2B，1tan3C，且 c=1。（1）求 tanA；（2
9、）求 ABC 的面积 . 举一反三：【变式 1】在ABC中2a，b2 2，15C，求A,ABCS. 6 【变式 2】在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C(I)求 sinC 的值；()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长例 4.如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点. 现位于 A 点北偏东45，B 点北偏西60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西60且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里小时，该救援船到达D 点需要多少时间？举一反三：【变式 1】
10、如图 , 甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行 , 当甲船位于1A处时 , 乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处, 此时两船相距20海里 . 当甲船航行20 分钟到达2A处时 , 乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处,此时两船相距10 2海里 , 问乙船每小时航行多少海里? 【变式 2】如图所示，已知两座灯塔A 和 B 与海洋观察站C 的距离都等于a km，灯塔 A 在7 观察站 C 的北偏东20，灯塔B 在观察站C 的南偏东40，则灯塔A 与灯塔 B 的距离为（）Aa km B3akm C2akm D2a km 巩固练习一、选择题1在ABC中，A6
11、0，B75，a10，则c( ) A52 B102 C.106 3D56 2已知ABC中， sin Asin Bsin C 113，则此三角形的最大内角的度数是( ) A60 B 90C120 D 1353在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c. 若acos Absin B，则 sin Acos Acos2B( ) A1 2B.1 2C 1 D1 4若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足 (ab)2c24，且C60，则ab的值为 ( ) A.4 3B 843 C1 D.235在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c. 若a2b23bc，sin C23sin B，则A(
12、) A30 B60C120 D1506在ABC中，D为边BC的中点，AB2，AC1，BAD30，则AD的长度为( ) A.3 B.3 2C.5 D2 二、填空题8 7在ABC中，若b5，B 4，sin A13，则a_. 8在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是ABC的面积，且 4Sa2b2c2，则角C_. 9已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4 的等差数列，则ABC的面积为 _三、解答题10ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin Acsin C2asin Cbsin B. (1) 求B；(2) 若A75，b 2，求a，c. 11在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知cos A2cos C cos B2ca b. (1) 求sin C sin A的值；(2) 若 cos B14，b2，求ABC的面积S. 12已知向量m(sin A，12) 与n(3 ，sin A3cos A) 共线，其中A是ABC的内角(1) 求角A的大小；(2) 若BC2，求ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状
