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1、欢迎光临 中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网 系列资料WWW.Z X S X .C OM版权所有 中学数学信息网非二次函数方程根问题应对策略朱中良( 蕲春县横车高级中学, 湖北 435317) 非二次函数方程根问题是高考常考的知识点. 这类问题涵盖知识点多, 综合性强 , 能较好地考查数学思想方法 , 学生们求解起来往往颇感困难, 本文就非二次函数方程根问题常见类型结合一些高考试题和模拟试题进行分析, 探寻解题策略 , 以供参考 . 1.判断方程根的个数问题【例 1】 (2008 年元月黄冈市) 方程sin2cos，0, 2的根的个数是（）A.1 个 B.2个 C.3
2、个 D.4个【解】 因为方程有根,故cos0, 令sin,(11)xx, 则问题转化为方程221xx的根个数问题 , 记12xCy; 221Cyx, 则问题转化为两曲线交点个数问题, 在同一坐标系中画出它们的图象, 如图所示 , 故选 B. 【评】方程根个数与曲线交点个数是相同. 本例先对数式换元转化, 再进行数形转化, 再考查曲线交点的个数. 【例 2】若函数()fx的定义域R, 对任意实数(,)x都满足()()fxfx,(1)(1)fxfx, 若当0,1x,2()fxx. 函数5( )logxg x, 则方程()()fxgx的根的个数为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【解】()f
3、x和()gx均为偶函数 , 它们的图象都关于y轴对称 , 依条件()()fxfx,(1)(1)fxfx, 知()fx是以 2 为最小正周期的周期函数. 在同一坐标系中画出它们的图象( 只画y轴右侧 , 因为它们均为偶函数), 依对称性可知原方程的根为 10 个.【评】本例是利用函数性质画图, 再考查两图象交点的个数. 2. 知方程根个数反求参数取值范围问题【例 3】 (2008年 3 月长沙市 ) 0 x y 12xCy221Cyx0 x y 1 2 3 4 5 欢迎光临 中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网 系列资料WWW.Z X S X .C OM版权所有 中学数学
4、信息网已知函数 )0()1()0(12)( xxfxxfx ，若方程axxf)(有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是( ) A .0,(B(,1) C 1 ,0 D,0【解】 记1()Cyfx,2Cyxa在同一坐标系中画出它们的图象, 欲使原方程有两个不相等的实根, 则1a, 选 B. 【评】注意函数在(0,)上的性质 , 画出函数1()Cyfx的图象 ,又2Cyxa是一组平行直线, 当1a, 时, 它们总有两个不同交点. 【例 4】 (2005 年上海考题 ) 设定义域为R的函数 )1(0)1(1lg)( xxxxf, 则关于 x 的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同
5、的实数根的充要条件是( ) 0,0 cb0,0 cb0,0 cb0,0 cb【解】 画出图象 , 若关于 x 的方程0)()(2cxbfxf有 7 个根 , 令()fxt, 则方程20tbtc必有一个根10t, 另一个根20t. 故0,0 cb. 选 C. 【评】 这类问题称为“复合方程”根问题, 在解题时一是要注意关于t的方程20tbtc根与关于的x 的方程0)()(2cxbfxf的根对应关系 , 二是要定性地画出图象 . 若设方程的7 个根分别为1234567,xxxxxxx, 则依根的对称性知1234567xxxxxxx的值为 7. 3. 函数导数不等式与方程根综合题【例 5】 （200
6、8 年元月份武昌区改编）0 x y x=1 欢迎光临 中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网 系列资料WWW.Z X S X .C OM版权所有 中学数学信息网已知函数2lnfxxax在区间（ 1， 2 上是增函数，gxxax在区间（ 0，1）上为减函数 . （）试求函数,fxgx的解析式；( ) 若mR,0x时，试就参数m 的取值讨论方程fxgxm 根的个数 . 【解】 （）20afxx xQ在2,1x恒成立 , 所以22xa,2a. 又0 21 xaxg在1 ,0x恒成立 , 所以xa2,2a. 从而有2a. 故xxxfln22,xxxg2. （）令()()()Fxf
7、xgxm, 则 xxxxF1122)(xxxxxx)222)(1(所以xF在1,0上是减函数 , 在, 1上是增函数 , 从而当0x时, min12FxFm . 依函数性质画草图. 因此 , 当2m时,图象与 x 轴有两个不同交点, 即方程()()fxgxm在,0有两异根 . 当2m时, 图象与 x 轴仅有 1 个交点 , 即方程()()fxgxm在,0只有一个根1x; 当2m时,图象与 x 轴无交点 , 方程()()fxgxm在,0上无根 ; 【评】本例第( ) 问解法是构造差函数()()()Fxfxgxm, 再利用导数来研究函数()Fx的单调性和极值, 从而画出()Fx的草图 , 于是方程
8、有解等价于函数图象与x 轴有交点 , 方程解的个数与图象和x轴的交点个数相同【例 6】(2006 年福建卷 ) 已知函数2()8,()6 ln.fxxx gxxm（I ）求()fx在区间,1t t上的最大值( );h t（II ）是否存在实数,m使得()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点？0 x y 1 12Fm欢迎光临 中学数学信息网zxsx127 163 .com中学数学信息网 系列资料WWW.Z X S X .C OM版权所有 中学数学信息网若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。【解】 （I ）略（II ）函数()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同
9、的交点，即函数()()()xgxfx的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22()86 ln,6286()282(1)(3)(0),xxxxmxxxx xxxxx xQ当(0,1)x时，()0,()xx是增函数；当(1, 3)x时，()0,()xx是减函数；当(3,)x时，()0,()xx是增函数；当1,x或3x时，()0.x()(1)7,()(3)6 ln 315.xmxm极 大 值极 小 值当x充分接近0 时，()0,x当x充分大时，()0.x依性质画出()()()xgxfx的草图 , 要使()x的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,xmx
10、m极 大 值极 小 值即7156 ln 3.m所以存在实数m ，使得函数()yfx与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156 ln 3).【评】 本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 图象有三个不同交点与方程()()fxg x有三个根实质是相同的，本例用导数来研究函数的单调性和极值, 数形结合 , 画草图便可使问题获得解决.【例 5】( 中学数学教学参考2008 年 1-2 期 ) 设函数0 x y 1 3 欢迎光临 中学数学信息
11、网zxsx127 163 .com中学数学信息网 系列资料WWW.Z X S X .C OM版权所有 中学数学信息网23()1(1). 23n nnxxxfxxnN nL( ) 试确定3()fx和4()fx( ) 说明4()0fx方程是否有解 ; ( ) 对于自然数n , 试给出关于的方程()0nfx的解的情况的一个定性结论, 并加以证明 . 【解】 ( )233()1 23xxfxx,23()10fxxx所以3()fx是减函数 ; 2344()1 234xxxfxx,2324()1(1)(1)fxxxxxx在区间(,1)上4()fx为减函数 , 在(1,)上4()fx为增函数 . ( ) 由
12、( ) 知4min445()(1)0,()0 12fxffx无解 . ( ) 猜想当n为偶数时 , 关于x方程()0nfx无解 ; 当n为奇数时 , 关于x的方程()0nfx有且只有一解 , 下面证明 : 当n为偶数时 , 242()(1)(1)0nnfxxxxxL, 所以 , ()nfx在(,1)上为减函数 , 在(1,)上为增函数 , min211()(1)11 231(1) 2111111()()() 2345222110 2nnkfxfkkkkLL所以()0nfx无解 . 当n为奇数时 , 易证231()1nnfxxxxxL1,()0nxfx时欢迎光临 中学数学信息网zxsx127 1
13、63 .com中学数学信息网 系列资料WWW.Z X S X .C OM版权所有 中学数学信息网1,x时有231()1()110 11nnnnfxxxxxxxxxL所以()nfx是R上的减函数 . 又因为(0)10,nf2111()1()(1) 231nnnfnnnn nL当n取不小于1 的奇数时 , ()0nfn, 所以 关于x的方程()0nfx的方程有且只有一解 . 【评】本题查功能强大, 考查学生对导数及不等式的基本知识和基本技能及掌握程度以及运算能力 , 以及归纳推理能力和逻辑推理能力, 在 “给出关于的方程()0nfx的解的情况的一个定性结论 , 并加以证明” 这一问有一定的难度，要
14、用到猜想、 证明、 分类讨论和根存在判断定理及数形结合思想等。总之， 对于非二次函数方程根问题考查题求解主要策略是数形结合法，等价转化法， 用导数法来研究函数的性质法。理解下面几个重要结论对解题有帮助。 方程()()fxgx解的个数与函数图象1:()Cyfx和2:()Cygx交点的个数是相同的，与构造差函数()()()h xfxgx和 x 轴的交点个数也是相同的。含参数m 的方程分离变元后得，()()fxg m有解的充要条件是()g m取值集合就是函数()yfx值域 . 函数()fx在,a b连续， 若()()0fafb， 则至少有一个实数0(,)xa b， 使得0()0fx. 函 数()fx在,a b连 续 且 单 调 递增 ( 减 ) ， 若()()0fafb， 则 有 且 只 有一 个 实 数0(,)xa b，使得0()0fx.
