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1、,巧用图像搞定对数函数,哈尔滨工业大学 马传周,第一课时,一、复习引入,小学到初中，我们对数的运算有了深入的了解，加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经成为我们所熟知的了。我们知道：加法与减法、乘法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算。,进入高中我们对指数运算也有了一个全新的认识，对于指数运算推广到了指数幂为实数的形式了。指数运算的逆运算又是什么呢？,抽象出：,一、问题：,x=?,1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？,2、假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2
2、倍？,抽象出：,x=?,由前面的学习我们知道：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个， 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞？,如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x呢,由对数式与指数式的互化可知：,上式可以看作以y自变量的函数表达式吗,？,对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与之对应，把y看作自变量，x就是y的函数，但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即,这就是本节课要学习的：,1、对数的定义：一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N, 就是ab=N 那么数 b叫做以 a为底 N的对数， 记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。,., .注意底数的限制， a0且 a
3、1;,. 注意对数的书写格式,说明,对数式与指数式的互化:,负数和零没有对数；,例1:将下列指数式写成对数式：,例2:将下列对数式写成指数式：,例3:求下列各式的值：, .为什么对数的定义中要求底数a0且 a 1 ； .是否是所有的实数都有对数呢？,思考：,(1) 26.2=73.5167;,(3) 0.53=0.125 ;,将下列指数式写成对数式：,y=log x 和y=log x 作图,探索研究：,因为指数函数y=ax (0adc,规律：在第一象限内，底数越大，图像按顺时针方向旋转。,一、对数函数的图象与性质：,非奇非偶函数,非奇非偶函数,( 0 , + ),R,( 1 , 0 ) 即 x
4、 = 1 时，y = 0,在 ( 0 , + ) 上是增函数,在 ( 0 , + ) 上是减函数,当 x1 时，y0 当 0x 1 时， y0,当 x1 时，y0 当 0x1 时，y0,例1:求下列函数的定义域:,(1) y=logax2 (2) y=loga(4-x),解:,(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=log0.5(4x-3),习题讲解,(1),(2),(3) 3-x0因为 x-10x-1,(4)因为 4x-30log0.5(4x-3)0,1、 2、3、 4、,例2:比较大小,.常用对数（common logarithm）：以10为底的对数log10N,. 自然对数（
5、natural logarithm）：以无理数e=2.71828 为底的对数的对数logeN ;,两个重要对数：,简记为: lgN .,简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对数),将下列对数式写成指数式：,求下列各式的值：,探索与发现：,(1) log31=,0,(2) lg1=,0,0,(3) log0.51=,0,(4) ln1=,你发现了什么?,“1”的对数等于零,即loga1=0,求下列各式的值：,探索与发现：,(1) log33=,1,(2) lg10=,1,1,(3) log0.50.5=,1,(4) lne=,你发现了什么?,底数的对数等于“1”,即logaa
6、=1,求下列各式的值：,探索与发现：,你发现了什么?,3,0.6,89,求下列各式的值：,探索与发现：,你发现了什么?,4,5,8,对数的基本性质,1.负数和零没有对数；,2.“1”的对数等于零,即loga1=0,3.底数的对数等于“1”,即logaa=1,4.,对数恒等式：,5.,对数恒等式：,(1)已知x满足等式,(2)求值：,(3)已知,思考题:,三、归纳小结，强化思想 1、 引入对数的必要性； 2 、指数与对数的关系； 3、 对数的基本性质,第二课时,一般地，如果,的b次幂等于N, 就是,，那么数 b叫做,以a为底 N的对数，记作,a叫做对数的底数，N叫做真数。,定义：,有关性质：,负
7、数与零没有对数（在指数式中 N 0 ）,对数恒等式,练习:,4,3,?,对数的运算性质,积的对数等于对数的和,商的对数等于对数的差,语言表达:,n次方的对数等于对数的n倍,如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：,对数的运算性质,说明:,1) 有时可逆向运用公式,2)真数的取值必须是(0,),3)注意,例1 计算,（1）,（2）,讲解范例,解 :,解 :,例2,讲解范例,解（1）,解（2）,用,表示下列各式：,（1）,例3计算：,解法一：,解法二：,1 若, 的值为_,提高练习:,解:原方程可化为,2.解方程,证明: , 则 两边取以m 为底的对数：从而得： ,3.对数换底公式：( a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0),2.两个常用的推论: ， （ a, b 0且均不为1）证：,三、讲解范例：例1 求log89.log2732的值分析：利用换底公式统一底数：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数的特征，换成其它合适的底数,例3计算： ,例2.已知 ,用 a, b 表示,解：因为 则 , 又 ,解：,对数的运算性质,1 如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：,课堂小结:,2 对数运算性质的功能主要有两个： 一是化复杂的真数（积或商的形式）为简单的真数；二是将多个同底对数式的和差合为一个对数式。,答疑环节,
