《福建省晋江市人教版高中数学必修二课件1.3简单几何体体积(共45张)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建省晋江市人教版高中数学必修二课件1.3简单几何体体积(共45张)(45页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 简单几何体体积,晋江季延中学 刘佳佳,数学学科:必修二,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理:,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V长方体= abc,推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。,V长方体= sh,推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。,V正方体= a3,公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。,幂势既同,则积不容异,祖暅原理,定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 s 和高 h 的积。,V柱体= sh,二:柱体的体积,
2、三:锥体体积,例2:,如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.,答:可分成棱锥A-D1DC,棱锥A-D1C1C,棱锥A-BCD.,问:(1)从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥?,3.1锥体(棱锥、圆锥)的体积(底面积S,高h),注意:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四面体的每一个面都可以作为底面,可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥)的体积,定理如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是,高是,那么它的体积是:,推论:如果圆锥的底面半径是,高是,那么它的体积是:,锥体 ,圆锥 ,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h,则,推论:如果圆台的上,下底面
3、半径是r1.r2,高是,那么它的体积是:,圆台 h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?,S为底面面积,h为柱体高,S分别为上、下底面面积,h 为台体高,S为底面面积,h为锥体高,(1)长方体的体积 V长方体abc . (其中a、b、c为长、宽、高,S为底面积,h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体Sh. 其中,V圆柱r2h(其中r为底面半径),Sh,知识点二柱、锥、台、球的体积,(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积 V锥体 Sh. 其中V圆锥 , r为底面半径,13r2h,(4)台体的体积公式 V台h(SS) 注:h为台体的高,S和S分别为上下两个底面的面积 其中V圆台 注:h
4、为台体的高,r、r分别为上、下两底的半径 (5)球的体积 V球 .,13h(r2rrr2),13R3,例 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥ABCD,求它的体积是正方体体积的几分之几?,1求空间几何体的体积除利用公式法外,还常用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法,几何体的体积小结,2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题,R,R,球的体积:,一个半径和高都等于R的圆柱,挖去一个 以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥 后,所得的几何体的体积与
5、一个半径为R的 半球的体积相等。,探究,R,R,第一步:分割,O,球面被分割成n个网格,表面积分别为:,则球的表面积:,则球的体积为:,设“小锥体”的体积为:,知识点三、球的表面积和体积,(,O,第二步:求近似和,O,由第一步得:,第三步:转化为球的表面积,如果网格分的越细,则:,由 得:,设球的半径为R,则球的体积公式为 V球 .,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比4,则它们的半径之比_.,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。 (2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的倍。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是。 (4)若两球体积
6、之比是1:2,则其表面积之比是。,例2:,例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。,分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。,略解:,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=。,关键:,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=cm,求球的体积,表面积,解:如图,设球O半径为R, 截面O的半径为r,,例5、有三个球,一球切
7、于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,规律方法总结,1直棱柱的侧面展开图是一些矩形,正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形 2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积,3如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面积是S直棱柱侧ch. 4应注意各个公式的推导过程,不要死记硬背公式本身,要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台,在求其侧面积或全面积时,应对每一
8、个侧面的面积分别求解后再相加 6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之,若已知球的表面积或体积,那么就可以得出其半径的大小 7计算组合体的体积时,首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成,然后再通过轴截面分析和解决问题,8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为3 cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少?把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面上两点间的最短距离.,
9、题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开,在平面上得到 矩形ABCD(如图所示), 由题意知BC=3 cm, AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位 置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5 cm.,求立体图形表面上两点的最短距离 问题,是立体几何中的一个重要题型.这类题目的 特点是:立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发 现它们图形间性质与数量上的相互关系,必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上,或者将曲面 展开为平面,使问题得到解决.其基本步骤是:展 开(有时全部展开,有时部分展开)为平面图形, 找出表示
10、最短距离的线段,再计算此线段的长.,题型二 旋转体的表面积及其体积如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割, 然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是
11、多少?解 如图为轴截面.设圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S,则,知能迁移2 已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?解 如图为轴截面.设圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S,则,题型三 多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为 ,求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题.已知底面边长和侧棱长,可先求出三棱锥的底面面积和高,再根据体积公式求出其体积.解 如图所示,正三棱锥SABC.设H为正ABC的中心,连接SH,则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E, 则E为BC的中点,且AHBC.
12、 ABC是边长为6的正三角形,,求锥体的体积,要选择适当的底面和 高,然后应用公式 进行计算即可.常用方 法:割补法和等积变换法. (1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体,分别求出锥体和柱 体的体积,从而得出几何体的体积. (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.求体积时,可选择容易计算的方 式来计算;利用“等积性”可求“点到面的 距离”.,题型四 组合体的表面积及其体积(12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积
13、.易知折叠成的几何体是棱长为1的正四面体,要求外接球的体积只要求出外接球的半径即可.解 由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体. 2分,方法一 作AF平面DEC,垂足为F, F即为DEC的中心. 取EC的中点G,连接DG、AG, 过球心O作OH平面AEC. 则垂足H为AEC的中心. 4分 外接球半径可利用OHAGFA求得.在AFG和AHO中,根据三角形相似可知,,6分,10分,12分,方法二 如图所示,把正四面体放在正 方体中.显然,正四面体的外接球就 是正方体的外接球. 3分 正四面体的棱长为1, 正方体的棱长为 , 6分,9分,12分,
14、方法与技巧 1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利.,思想方法 感悟提高,(1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形” 与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补 成易求体积的几何体,如长
15、方体、正方体等.另外 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体 补成锥体研究体积. (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算, 应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素.,失误与防范 1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪开,多面体要选择一条棱剪开,旋转体要沿一条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出截面图.,