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1、1,3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系,1算符的对易关系,设 和 为两个算符,若 ，,则称 与 对易,若 ，,则称 与 不对易,引入对易子：,2,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）,（1）力学量算符的基本对易关系,3,Prove,设 为任一可微函数,特别地，当 代入上对易式，即证得,同理可证：,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）,4,prove:,（2）对易恒等式,雅可比恒等式,双线性,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）,5,（3）角动量算符的对易关系,3.7 算符对易关系 两力学量同时可
2、测的条件 测不准关系（续）,6,Prove:,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）,7,定理,prove:,2力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续6）,设 是 和 的共同本征函数完全系，则,设 是任一状态波函数，,若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易。,8,逆定理,prove:,设 是 的本征函数完全系，则,若算符 与 对易，则,（1）,（2）,为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）式知， 和 都是 属于本征值 的本征函数，它们最多相差一个常数因子 ，即,可见， 也是 的本征方
3、程的解。因此， 是的本征函数完全系,若算符 与 对易，则它们具有共同的本征函数完全系,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续7）,9, 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。, 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。,注,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8）, 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非
4、简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了）,10,Ex.2 角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）,Ex.1 动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系,11,Ex.5 彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。,Ex.4 坐标算符与动量算符不对易 ，故 一般不可同时具有确定值。,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续10）,12,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需
5、要三个两两对易的力学量：,Ex.2,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,3.力学量完全集合,Ex.3,Ex.1,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续11）,13,4测不准关系,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续2 ）, 测不准关系的严格推导 坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系,引言,由前面讨论表明，两对易
6、力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,问题,两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？,不确定度：,测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。,14,设 和 的对易关系为,考虑积分：,（再利用力学量算符的厄米性）, 测不准关系的严格推导,15,由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：,（称为测不准关系）,如果 不等于零，则 和 的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和 不能同时测定。,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续3）,16,由测
7、不准关系 看出：若两个力学量算符 和 不对易，则一般说来 与 不能同时为零，即 和 不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 和 对易，则可以找出这样的态，使 和 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。,故有, 坐标和动量的测不准关系,或写成,17,简记为,表明： 和 不能同时为零，坐标 的均方差越小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续4）, 角动量的测不准关系,当粒子处在 的本征态时,18,测不准关系的应用,Ex. 1 利用测不准关系估算线
8、性谐振子的零点能,Solve：,谐振子的能量,平均能量：,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续5）,19,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续16),可以由对称性直接得出,20,故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。,（零点能）,3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续17）,21,Prove:,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,同理,由于在 本征态 中，测量力学量 有确定值，所以 均方偏差必为零,Ex.2 利用测不准关系证明，在 本征态 下，,22,此式表明力学量
9、平均值随时间变化有两方面的原因:,（1）,3.8 力学量随时间的变化 守恒律,1、力学量平均值随时间的变化,由薛定谔方程有,代入（1），则有,23,因 是厄米算符,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续）,利用对易子记号,（2）,则,24,结论:力学量 的平均值 不随时间而变化,则称 为运动积分，或 在运动中守恒。,2、运动积分力学量守恒的条件,若力学量算符 不显含时间t,且与哈密顿算符 对易,则有,即 ，,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续2）,Ex1. 自由粒子的动量,不显含时间,25,又,故,守恒,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续3）,哈米顿算符可表示为：,在球坐标系中算符 等
10、只是 的函数，与时间（r,t）无关，对时间偏微商为0。,Ex2. 粒子在辏力场中运动的角动量,自由粒子的动量是运动积分动量守恒,26,角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易,角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。角动量守恒定律！,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续4）,Ex3. 哈密顿算符不显含时间的体系的能量,当 不显含t时，,又,即：能量守恒定律！,27,空间反演算符也称为宇称算符,3、哈密顿算符对空间反演时的不变宇称,空间反演：,空间反演算符,反演算符 的本征值,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续5）,28,具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运
11、动空间对称性的描述。,宇称守恒律：,若体系的哈密顿算符具有空间反演不变性,即,则 为运动积分，即宇称守恒,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续6）,Prove：,29,故,宇称守恒表示体系的哈密顿算符和宇称算符具有共同本征函数, 因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。 量子力学中一个不可观测量的对称性（不变性）导致一个可观测量的守恒律。,3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续7）,因此, 为运动积分，亦即宇称守恒,又 不显含t，,30,一、力学量与算符1厄米算符的定义2力学量与厄米算符的关系力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系（假设）3厄米算符
12、的性质厄米算符的本征值是实数，属于不同本征值的本征函数正交4力学量算符的构成（对应原则）（假设）5力学量的平均值注 2和4合起来作为一个假设,第三章 复 习,31,二、力学量的测量值与力学量算符关系：假设力学量算符的本征值是力学量的可测量值。将体系的状态波函数用算符 的本征函数系展开则在 态中测量力学量 得到结果为 的几率是 ，得到结果在 范围内的几率是,三、力学量算符之间的关系1不同力学量同时可测定的条件力学量算符彼此对易。一体系的所有可彼此对易的力学量算符构成一个完全集。,32,四、力学量算符的本征值问题1动量算符的本征值问题2 ， 的本征值问题3中心力场问题氢原子问题 五、力学量守恒,第三章 复习,2测不准关系3算符的对易关系（1）基本对易关系（2）角动量算符的对易关系,33,例1：已知空间转子处于如下状态,试问： （1）是否是 L2 的本征态？ （2）是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及 其相应的几率。,解：,没有确定的 L2 的本征值，故不是 L2 的本征态。,34,是 Lz 的本征态，本征值为,（3）求 L2 的平均值,方法 I,验证归一化：,35,归一化波函数,方法 II,（4）,
