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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 伴随矩阵的秩-向量组的秩怎么求向量组的秩第四章 向量与线性方程组 向量组的秩2016 年秋季四川大学邓传现等价向量组 定义 设 若 中 的每个向量均可由 可由向量组 与 等 价. 的等价具有以下性质： 与自身等价；等价，则 等价， 等价.22016 年秋季四川大学邓传现为两向量组, 线性表示，则 线性 表示； 称向量组 若向量组 组 提醒 向量组可相互线性表示，称向量与向量组-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 反身性 向量组 对称性 若 传递 性 若 则 与 与 与与 与等价； 等价，定理 若 示且 , 则 证
2、明 考查方 程组 由于 可由 使得可由 线性相关.线性表线性表示，则存在数因那么如下齐次线性方程组32016 年秋季四川大学邓传现中方程数少于未知变量数，故有 非零解 我们将证明， 满足 . 事实上，这表明，方程组 组 线性相关.也有非零解4，所以向量2016 年秋季四川大学邓传现推论 1 若 表示且可由 线性无关，那么 .-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 线性推论 2 任意 个 证明 因任意 基 本向量组 由定理知， 证明 设维向量线性相关. 个 维向量 均 可由 线性表示且 线性相关. 和 是两推论 3 等价的线性无关向量组含 有向量的个数必相同. 个等价的线性无
3、 关向量组，由推论 1 知 所以 .52016 年秋季四川大学邓传现极大无关组及说明 定义 设 的 一个部分组，如果 线性无关； 中任一向量都可由 线性表示； 则称向 量组 是 的一个极大无关组. 向量组的 极大无关组与自身是等价的. 一个向量 组的极大无关组，就是能表示该向量 说明 组的个数最少的部分无关向量组. 一个向量组的极大无关组未必只有一个， 但同 一个向量组的极大无关组之间必 然等价.62016 年秋季四川大学邓传现-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 是向量组的秩 定理 同一向量组的 任意两个极大无关组是等价的，且包 含相同个数的向量. 证明 同一向量组的
4、任意两个极大无关组与向量组本身都 是等价的，故同一个向量组的两极大无 关组等价； 再由以上推论知，它们包 含的向量个数必相同. 定义 向量组 的 极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩, 记为 规定 零向量组的秩为零，即 推论 设 为一 向量组，则 线性无关 线性相关72016 年秋季四川大学邓传现推论 若 则 证明 设向量组 则 由于 因而 可由可由 的极大无关组分别为线性表示，线性表示，则 与也可由线性表示；又因-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 都是线性无关，所以82016 年秋季四川大学邓传现向量组秩求法的依据 推论 等价 向量组的秩相等. 证明 由于等价向
5、量组 可以相互线性表示，由前一 推论知等 价向量组的秩相等.注记 由以上推论知向量组的秩 是唯一的，而极大无关组 未必唯一， 故秩比极大无关组更为本质地刻画了向 量组的内在属性. 定理 若 组且矩阵 换可化为矩阵 为向量组 为向量组9和均为列向量 经过一系列初等行 变 则以下命题等价 的极大无关组; 的 极大无关组.2016 年秋季四川大学邓传现证明 设矩阵 化为经过一系列初等行变换 考虑以 下-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 四个向量形式的线性方程组则 与 同解， 当 则 关组 有零 解, 而与同解. 为 的极大无关组时， 有 解，因 可由极大无 仅 线性表示；从
6、而仅有零解,有解；所以102016 年秋季四川大学邓传现线性无关，且对任意的 可由向 量组 向量组 极大无关组. 推论 设 同理可证. 为列向量组，若 初等行 变换 则112016 年秋季四川大学邓传现线性表示，故 为 的例题 求向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 性表示.122016 年秋季四川大学邓传现解答 令 换将其化为阶梯形矩阵，并对作初等行变132016 年秋季四川大学邓传现第 3 行改放第 4 行 第 4 行除 以 5 后改放第 3 行由于有三行非零，故这是因为 的第 1, 2, 4 列的前 3 行所构
7、成的行列式不为 零，所以 线性 无关，而 的任意 4 行所构成的142016 年秋季四川大学邓传现行列均为零，故 相关，从而 进 一步用行变换将中任意四个向量线性 为它的一 个极大无关组. 化为约当阶梯形，得所以-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 152016 年秋季四川大学邓传现向量组的秩及极大无关组的求法 若 为列向量组，令若为行向量组，令一系列初等行变换阶梯形矩阵的非零行的行数 则 的非零首 元所在的列，是 无关组，并且对应 向 量组16的一个列极大的一个列极大无关组，即 的一 个极大无关组.2016 年秋季四川大学邓传现关于向量组的秩和极大无关组的 求法的注记
8、在所得的阶梯型矩阵中， 阶梯总数或非零行数即为所求 列向量 组的秩；在阶梯型矩阵的每一阶梯中取 一列，则 对应的原向量所构成的向量 组即为原向量组的一个极大 线性无关-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 组. 每一阶梯取一列得原向量组的多个 极大无关组，但它们 未必是该向量组 的全部极大无关组. 因为同一阶梯的向 量之间也可能是线性无关的. 如果要把 其余向量由极大无关组表示，则将其化 为约当 阶梯形矩阵，此时的极大无关 组必须取每一阶梯的第一 列，则可轻 易地将其余向量用极大无关组线性表示.172016 年秋季四川大学邓传现例题 求向量组 的秩及一个极大 无关组，并将其
9、余向量用该极大 无关 组线性表示. 解答 令 ，并对 作初等行变换将其化为阶梯形矩阵182016 年秋季四川大学邓传现一系列初等行变换故且就是向量组的一个极大无关组， 且19-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 2016 年秋季四川大学邓传现第三 节向量组的秩第三节向量组的秩一、最大线性无关向量组 二、 矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩 的重要结论一、最大线性无关向量组、定义 设有向量组 A , 如果 在 A 中能选出 r 个向量 1 , 2 , , r , 满足向量组 A0 : 1 , 2 , , r 线性 无关 ;向量组 A 中任意 r + 1 个向量 ( 如果 A 中有 r + 1 个向量的话 ) 都 线性相关， 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组 (简称最大无关组). 最大 无关组所
