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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 三角形中心重心垂心-三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加“+”的表示正 的部分N+：正自然数集 即 正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加“*”的表示除 0 以 外的部分N*：除了 0 的自然数集 即 正整 数集Z*：非零整数集-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 R*：非零实数集集合通常表示为大写字母 A， B， C。而元素通常表示为小写字 母 a,b,c。重心、垂心、内心和外心。正心 是只有等边三角形才具有的，此时这四 心合一。一、重心是三角形三边中线的
2、交 点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到 对边中点的距离之比为 2：1。2、重心和三角形 3 个顶点组成 的 3 个三角形面积相等。3、重心到三角形 3 个顶点距离 的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心 的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐 标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系横坐标： (X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 竖坐标：/35、重心和三角形 3 个顶点的连 线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。6、重心是三角形内到三边距离
3、 之积最大的点。二、垂心是三角形的三条高的交 点垂心的性质：设ABC 的三条高为 AD、BE、CF，其中 D、E、F 为垂足， 垂心为 H，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、锐角三角形的垂心在三角形 内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角 形的内心；或者说，三角形的内心是它 旁心三角形的垂心； 3、 垂心 H 关于 三边的对称点，均在ABC 的外接圆上。-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 4、 ABC 中，有六组四点共圆， 有三组(每组四个)相似的直角三角形， 且 AHHD=BHHE
4、=CHHF。5、 H、A、B、C 四点中任一点 是其余三点为顶点的三角形的垂心(并 称这样的四点为一垂心组)。6、 ABC，ABH，BCH， ACH 的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过 H 的 直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距 离，等于外心到对边的距离的 2 倍。9、 设 O，H 分别为ABC 的外 心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外 接圆半径之和的 2 倍。11、 锐角三角形的垂心是垂
5、足-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 三角形的内心；锐角三角形的内接三角 形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足 三角形的周长最短。12、 西姆松(Simson)定理 从一 点向三角形的三边所引垂线的垂足共线 的重要条件是该点落在三角形的外接圆 上。13、 设锐角ABC 内有一点 T，那么 T 是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=A B*BC*CA。三、内心是三角形三条内角平分 线的交点，即内切圆的圆心。三角形内心的性质 设ABC 的 内切圆为O(半径 r)，角 A、B、C 的 对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角
6、形的三条角平分线交于 一点，该点即为三角形的内心2、三角形的内心到三边的距离 相等，都等于内切圆半径 r3、r=S/p 证明：S-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 ABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br +ar)/2=rp, 即得结论。 ABC 中，C=90，r=(a+b-c)/25、BOC=90+A/26、点 O 是平面 ABC 上任意一点， 点 O 是ABC 内心的充要条件是： a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)=向 量 07、点 O 是平面 ABC 上任意一点， 点 I 是ABC 内心的充要条件是： 向量 OI=/(a+b+c)8、A
7、BC 中，A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC 内 心 I 的坐标是： (ax1/(a+b+c) +bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)9、(欧拉定理)ABC 中，R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则 OI =R - 2Rr-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 10、 角平分线分对边与该角 的两边成比例。四、外心是三角形三条边的垂直 平分线的相交点。即外接圆的圆心。用 这个点做圆心可以画三角形的外接。外心的性质：外心到三角
8、形的三 个顶点距离相等圆。三角形五心：重心 垂心内心外心旁心三角形只有五种心一、重心:三中线的交点,三角形的三条中线 交于一点，这点到顶点的距离是它到对 边中点距离的 2 倍；重心分中线比为 1：2；1、重心到顶点的距离与重心到 对边中点的距离之比为 2：1。证明一三角形 ABC，E、F 是 AB，AC 的中点。EC、FB 交于 G。过 E 作 EH 平行 BF。AE=BE 推出 AH=HF=1/2AFAF=CF-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 推出 HF=1/2CF 推出 EG=1/2CG2、重心和三角形 3 个顶点组成 的 3 个三角形面积相等。证明二证明方法：在
9、ABC 内，三边为 a，b，c， 点 O 是该三角形的重心， AOA1、BOB1、COC1 分别为 a、b、c 边上的中线根据重心性质知， OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3 CC1 过 O，A 分别作 a 边上高 h1，h 可 知 Oh1=1/3Ah 则，S(BOC)=1/2h1a=1/21/3ha=1/3S(A BC)；同理可证S(AOC)=1/3S(ABC)，S( AOB)=1/3S(ABC) 所以，S(BOC)=S(AOC)=S(AOB)3、重心到三角形 3 个顶点距离 平方的和最小。 (等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 (x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为 则该 点到三顶点距离平方和为：(x1-x) +(y1-y) +(x2-x) +(y2- y) +(x3-x) +(y3-y) =3x -2x(x1+x2+x3)+3y - 2y(y1+y2+y3)+x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 =3(x-1/3*(x1+x2+x3) +3(y- 1/3(y1+y2+y3) +x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3-1/3(x1+x2+x3) -1/
