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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 三角形中心重心垂心-三角形的中心和重心三角形中心三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三 条中线交于一点，这点到顶点的距离是 它到对边中点距离的 2 倍；重心分中线 比为 1：2；垂心:三角形三条高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三 角形的内切圆的圆心的简称; 外心: 三中垂线的交点，是三角形的外接圆的 圆心的简称； 旁心:一条内角平分线 与其它二外角平分线的交点.(共有三个.) 是三角形的旁切圆的圆心的简称.-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 当且仅当三角形是正三角形的时 候,四心合一心,
2、称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点， 三线交一可用燕尾定理证明。证明过程 又是塞瓦定理的特例。已知：ABC 中，D 为 BC 中点， E 为 AC 中点，AD 与 BE 交于 O，CO 延长线交 AB 于 F。求证：F 为 AB 中点。证明：根据燕尾定理，S AOB=SAOC，又 SAOB=S BOC，SAOC=SBOC，再应用从中点得 AF=BF，命 题得证。重心的几条性质及证明方法：1、重心到顶点的距离与重心到 对边中点的距离之比为 2：1。2、重心和三角形 3 个顶点组成 的 3 个三角形面积相等。 证明方法：在ABC 内，三边为 a，b，c，-精选财经经济类资料-
3、 -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 点 O 是该三角形的重心， AOA1、BOB1、COC1 分别为 a、b、c 边上的中线根据重心性质知， OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3 CC1 过 O，A 分别作 a 边上高 h1，h 可 知 h1=1/3h 则，S(BOC)=1/2h1a=1/21/3ha=1/3S(A BC)；同理可证S(AOC)=1/3S(ABC)，S( AOB)=1/3S(ABC2+y1 +y2 +y3 =3(x- 1/3*(x1+x2+x3) +3(y- 1/3(y1+y2+y3) +x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3-1/3(x1+x2+
4、x3) -1/3(y1+y2+y3) 显然当 x=(x1+x2+x3) /3,y=(y1+y2+y3)/3 时上式取得最小值 x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 - 1/3(x1+x2+x3) -1/3(y1+y2+y3) 最终得 出结论4、在平面直角坐标系中，重心 的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐 标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 空间直角坐标系横坐标： (X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：/35、三角形内到三边距离之积最 大的点。重 心三条中线定相交，交点位置真奇
5、 巧，交点命名为“重心”，重心性质要 明了，重心分割中线段，数段之比听分 晓；长短之比二比一，灵活运用掌握 好三角形垂心目录B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、锐角三角形的垂心在三角形 内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 形的内心；或者说，三角形的内心是它 旁心三角形的垂心；3、 垂心 H 关于三边的对称点， 均在ABC 的外接圆上。4、 ABC 中，有六组四点共圆， 有三组(每组四个)相似的直角三角形， 且 AHHD=BHHE=CHHF。5、 H、A、B
6、、C 四点中任一点 是其余三点为顶点的三角形的垂心(并 称这样的四点为一垂心组)。6、 ABC，ABH，BCH， ACH 的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过 H 的 直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距 离，等于外心到对边的距离的 2 倍。9、 设 O，H 分别为ABC 的外 心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，B-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 CO=HCA。10、 锐角三角形的垂心到三顶 点的距离之和等于其内切圆与外接圆半 径之和的 2
7、 倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足 三角形的内心；锐角三角形的内接三角 形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足 三角形的周长最短。12、西姆松(Simson)定理从一点向三角形的三边所引垂线 的垂足共线的重要条件是该点落在三角 形的外接圆上。三角形内心目录内心定理：三角形的三个内角的 角平分线交于一点。该点叫做三角形的 内心。注意到内心到三边距离相等，内 心定理其实极易证。若三边分别为 l1-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 ，l2，l3，周长为 p，则内心的 重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三 角形的内心到边的距离等于两直角边的 和减去斜边的差的二分
8、之一。 双曲 线上任一支上一点与两焦点组成的三角 形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。编辑本段三角形内心的性质设ABC 的内切圆为I(r)，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的三条角平分线交于 一点，该点即为三角形的内心2、三角形的内心到三边的距离 相等，都等于内切圆半径 r3、r=S/p4、在 RtABC 中，C=90， r=(a+b-c)/25、BIC=90+A/26、点 O 是平面 ABC 上任意一点， 点 I 是ABC 内心的充要条件是： a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)=向-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读
9、- 8 量 07、点 O 是平面 ABC 上任意一点， 点 I 是ABC 内心的充要条件是： 向量 OI=/(a+b+c)8、ABC 中，A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC 内 心 I 的坐标是： (ax1/(a+b+c) +bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c) +by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)9、(欧拉定理)ABC 中，R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则 OI =R - 2Rr10、ABC 中，0 为内心，A 、B、 C 的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R， 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形外心目录编辑本段三角形外心的性质设ABC 的外接圆为G(R)，-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形三条边的垂直平分线 的交于一点，该点即为三角形外接圆的 圆心.2、锐角三角形的外心在三角形 内；钝角三角形的外心在三角形外；直 角三角形的外心在斜边上，与斜边中点 重合.3、GA=GB=GC=R.3、BGC=2A，或B
