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1、第2章 MATLAB矩阵及其运算 2.1 变量和数据操作 2.2 MATLAB矩阵 2.3 MATLAB运算 2.4 矩阵分析 2.5 矩阵的超越函数 2.6 字符串 2.7 结构数据和单元数据 2.8 稀疏矩阵,2.1 变量和数据操作,2.1.1 变量与赋值 1变量命名 在MATLAB 7.0中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。,2赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。,2.1.2 预定义变量,在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本
2、身定义的变量。例如，用pi表示圆周率的近似值，用i，j表示虚数单位。 预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。,2.1.3 数据,1.数据的表达方式：十进制，10e-30910e309 2.矩阵和数组的概念： (1)标量：含有一个数的矩阵。 (2)向量：只有1行或1列的矩阵。 (3)矩阵：二维数组。 (4)数组：n维数组。 注：向量和标量是矩阵的特例，向量和矩阵 是数组的特例。,3.复数：MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。复数的表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi或z=a+bj(b为常量)z=r*exp(i*0),例2-1 计算表达式的值，
3、并显示计算结果。 在MATLAB命令窗口输入命令： a=1-2i; x=real(a); %计算实部 y=imag(a); %计算虚部 z=abs(a); %计算幅值w=angle(a)*180/pi %计算相角,2.2 MATLAB矩阵和数组,2.2.1 矩阵的输入 1直接输入法 将矩阵的元素用方括号括起来;空格或逗号分隔同一行的各元素;分号或者回车分隔不同行。,例如：输入矩阵c：,c=1 2;3 4;5 3*2 结果： c=1 23 45 6 或者输入c=1,2;3,4;5,3*2 或者c=1 23 45 6,2利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下
4、面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。,例2-2 利用M文件建立MYMAT矩阵。 (1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵： (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 (3) 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。,3通过语句等生成矩阵 (1)利用冒号表达式建立一个向量 冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： from:step:to 其中from为初始值，step为步长，to为终止值。 注：(1)step省略时则默认为1。(2)step0且from
5、to时为空矩阵。(3)step0且fromx1=2:5 x2=2:0.5:4 x3=5:-1:2 x4=2:-1:3 x5=2:-1:0.5 x6=1:2:5;1:3:7,(2)使用linspace和logspace函数生成向量,linspace用来生成线性等分向量格式：linspace(a,b,n) 其中：a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数(默认n=100)。 显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。,logspace用来生成对数等分向量格式：logspace(a,b,n) 其中：a和b分别是开始值和结束值，n是数据个数(默认n=50)。
6、生成10a到10b之间按对数等分的n个元素的行向量,例2.2用linspace和logspace生成行向量, x1=linspace(0,2*pi,5) x1=0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 x2=logspace(0,2,3) x2=1 10 100,4建立大矩阵,大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。 如 a=1,2,3;b=4,5,6; c=a,b c =1 2 3 4 5 6 d=a;b d =1 2 34 5 6,2.2.2 矩阵元素 1矩阵元素修改与提取 通过下标修改矩阵的元素，例如 A(3,2)=200 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的
7、序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如3x3矩阵A A(3) %等价于A(3,1) ans = 9 A(3,2) %等价于A(6) ans =200 显然，序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以mn矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i, 即整行乘列再加余列。, B=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12; 13 14 15 16 B =1 5 9 132 6 10 143 7 11 154 8 12 16 B(3,4) ans =15 B(4-1)*4+3) ans
8、 =15 B(15) ans =15,2矩阵拆分 (1) 利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。 此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。如：A(1,end)ans =4,如 B(:,3) ans =9101112 B(2,
9、:) ans =2 6 10 14,(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 在MATLAB中，定义为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=。注意，X=与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除X ，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。 如: B=B =B为0X0矩阵,2.2.3 特殊矩阵 1通用的特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros(m,n)：产生mn全0矩阵(零矩阵)。 ones(m,n)：产生mn全1矩阵(幺矩阵)eye(m,n)：产生mn单位矩阵(对角为1)。 rand(m,n)：产生01间均匀分布的随机矩阵。 randn(m,n)：产生均值为0，方差为1的标
10、准正态分布随机矩阵。,如 h=ones(2,3) h =1 1 11 1 1 g=eye(3) g =1 0 00 1 00 0 1,例2-3 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。 (1) 建立一个33零矩阵。 zeros(3) (2) 建立一个32零矩阵。 zeros(3,2) (3) 设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。 A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵A zeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,例2-4 建立随机矩阵： (1) 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6
11、、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成mn的二维矩阵。,2用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列上的元素和都相等及两条对角线上的元素和相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n*n共n的平方个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,例2-5 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行
12、每列及对角线的和均为565。 M=100+magic(5),M=magic(5) M =17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9 sum(M(:,1) ans =65 sum(M(1,:) ans =65,s=0;for i=1:4;s=s+M(i,i);ends s =56 sv=0;Mv=M;for i=1:4;sv=sv+Mv(i,i);endsv sv =56,(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一
13、个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。,(3) 希尔伯特矩阵 在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。 使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。,例2-6 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 命令如下： format rat %以有理形式输出 H=hilb(4) H=invhilb(4),(4) 托普利兹矩阵 托普利兹
14、(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例如 T=toeplitz(1:6),(5) 伴随矩阵 MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令： p=1,0,-7,6; compan(p),(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n+1)生成一个n+1阶帕斯卡矩阵。,例2-7 求(x+y)5的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6) %幂次加1 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。 pascal(2+1) ans =1 1 11 2 31 3 6,
