《透析考题信息,提升解题驱动力(2015年湖北卷数学第21题赏析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《透析考题信息,提升解题驱动力(2015年湖北卷数学第21题赏析)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 透析考题信息，提升解题驱动力- 2015 年湖北卷数学第21 题赏析2015 年高考数学湖北卷，试卷背景新颖，创新于数学史料加工，顺应于高考改革走向，融数学本质、数学素养和数学文化于一体，内涵丰富，思想深刻，给人耳目一新的感觉笔者结合 2015 年湖北卷数学第21 题探讨如何透析考题信息，提升解题驱动力一、考题再现题目一种作图工具如图1 所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通 过N处 铰 链 与ON连 接 ，MN上 的 栓 子D可 沿 滑 槽AB滑 动 ， 且1,3DNONMN当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周 （D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲
2、线记为C以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2 所示的平面直角坐标系（）求曲线C的方程；（）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,P Q两点若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由二、考题条件的思维分析首先， 我们要根据作图工具实物的形象，抽象地建立一个数学模型审题发现，本题的条件有：DNON；1ON；3MN，隐含信息为O是定点，,M D N均为动点，且,M D N三点共线条件DNON，揭示ODN是等腰三角形，而等腰三角形具有“三线合一”的性质；条件1ON，O是定点，揭示了动点N到定点O的距离为
3、定值1，即动点N的轨迹是一个圆，其方程为221xy；条件3MN，结合1DNON，得知点D是线段MN的接近点N的三等分点， 综合上述对已知信息的思维分析可知，动点N的轨迹是一个圆，点N的运动主导着点D的运动，自然决定着点M的变化，因此，欲求点M的轨迹曲线C的方程，势必运用几何法或者相关点转移法三、第一问的求解思路我们能否判断出曲线C的类型呢？试想，当N在x轴的负半轴上时，显然M的坐标是4,0；当N在x轴的正半轴上时，显然M的坐标是4,0；当N在y轴的负半轴上时，图 1 BADOMN图 2 xDOMNy2 显然M的坐标是2,0；当N在x轴的正半轴上时，显然M的坐标是2,0；据此， 可推测曲线C的轨
4、迹是椭圆，且4a，2b，曲线C的方程为22 1164xy这样一来，解题目标自然变成了围绕猜测结果构建一个严谨又无失分点的解题过程运用数学问题中的普遍与特殊的关系， 通过对特殊情况的研究来判断或者猜测一般规律，这正是一般化与特殊化的思想的应用法 1设点, 02D tt，00,N xyMx y，依题意，2MDDN，且1DNON，所以00,2,txyxt y，且220022 0011xtyxy即00222txxtyy，且020t tx，由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是02tx，故00, 42xyxy，代入22 001xy，可得22 1164xy，即所求的曲线C的方程为22 116
5、4xy 法2设 点, 02Dtt，,Mx y， 依 题 意 ，2MDDN， 且1D NON，过,N M分别作x轴的垂线，垂足分别为,T H，由平面几何知识，可得：,224NDNyxxyxx，因为1ON，所以22 142xy ，即22 1164xy 本题的作图工具与椭圆的第一定义的作图工具不同，是椭圆的又一种尺规作图圆锥曲线的尺规作图是值得我们深入研究的经久不衰的话题四、第二问的求解思路运用极限的思想，试想， 当椭圆的切线趋近于平行已知的任意一条定直线时，三角形的面 积 自 然 趋 向 无 穷 大 ， 所 以OPQ的 面 积 不 可 能 有 最 大 值 ； 又 由 于O P QS1s i n2O
6、 PO QP O Q， 而si n P OQ是 定 值 ， 所 以OPQ的 面 积 取 决 于TH xDOMNy图 3 3 OP OQ，结合椭圆的对称性自然猜想到OPOQ时取得最小值，此时直线l与坐标轴平行，最小值是ab法1（ 1 ） 当 直 线l的 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线l为4x或4x， 都 有14482O P QS（ 2） 当 直 线l的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线1:2lykxm k，由22416ykxmxy，消去y，可得：2224184160kxmkxm，因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以2222644 144160k mkm，即22164mk. 又由 2
7、0ykxmxy，可得2,1212mmPkk；同理可得2,1212mmQkk由原点O到直线 PQ的距离为2|1md k和21PQPQkxx，可得：22111222|222121214OPQPQmmmSPQdm xxmkkk，所以22221241|821441OPQmkSPQdkk，当214k时，22241288 184141OPQkSkk；当2104k时，2224128811414OPQkSkk. 因2104k，则20 141k，22214k，所以2281814OPQSk，当且仅当0k时取等号，所以当0k时，OPQS的最小值为8. 综合（ 1） （2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，O
8、PQ的面积取得最小值 8. 评注若直线l与曲线:,0Cfx y相切于点00,xy， 则直线l也可以应用隐函数的OxyPQ图 4 4 导数求解如2222:1xyCab， 两边求导，22220xyyab， 即22b xya y， 则点00,xy处的切线方程为2 0 002 0b xyyxxa y，即22 00000a yyyb xxx，整理即得00 221x xy yab；法 2设直线l与椭圆C相切于点00,xy，则直线l可表示为001 164x xy y ，由001164 20x xy yxy，可得0000168,22Pxyxy；同理可得0000168,22Qyxyx又212 tan4tan,t
9、an21tan3POxPOxPOQPOx，或4tan3POQ所以4sin5POQ，221111sin11sin2222OPQPQSOP OQPOQxxPOQ22 0000001516164128242254xyxyxy，因为22 001164xy ，所以OPQS2 0128162x，又因为2 00,16x，所以8,OPQS故OPQ的面积取得最小值8，此时，直线l与椭圆C在四个顶点处相切评注若求出ABC的顶点坐标112233,A x yB xyC xy，也可以应用行列式求 解ABC的 面 积 ， 即1122331 1121ABCxySxyxy 本 题 中 的OPQ的 面 积OPQS0000000
10、0116881622222xyyxxyyx22 001284xy五、第二问的拓展反思 1：本题的结论是否具有一般性呢？5 引申1： 若直线l与椭圆2222:1xyC ab相切于点00,xy，动直线l与两定直线1:0lbxay和2:0lbxay分别交于,P Q两点，则322 02OPQa bS xa，其最小值是ab反思 2：本题的结论是否可以类比到双曲线呢？引申2：若直线l与双曲线2222:1xyCab相切于点00,x y，动直线l与两定直线1:0lbxay和2:0lbxay分别交于,P Q两点，则OPQS是定值，且该定值为ab问题解决的策略是多种多样的，既取决于对问题题设信息的理解与认识，又取决于解题主体的知识积累与经验，解题的机智往往就在于你是否真正透彻地熟悉信息、理解信息、 运用信息， 能否对信息的捕捉和储备知识及方法的有序组合，能否抓住问题的数学本质，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的多角度审视和挖掘为此，在平时的复习教学中，教师要有意识地引导学生注重审题，学会分析， 善于捕捉题设条件的信息加以透析，关注解题后的对问题本质的挖掘和透视，提升解题的驱动力
