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1、第二章 逻辑代数基础,学习要求： 掌握逻辑代数的基本概念，学会用逻辑函数描述逻辑问题的基本方法。 掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规则； 学会用代数法化简逻辑函数；熟练掌握用卡诺图化简逻辑函数。,2.1 逻辑代数的基本概念,逻辑代数是一个由逻辑变量集K，常量0和1以及“与”、“或”、“非”3种基本运算构成的一个封闭的代数系统，记为L=K, +, , -, 0, 1。它是一个二值代数系统。常量0和1表示真和假，无大小之分。,2.1.1 逻辑变量与逻辑函数,一、逻辑变量：仅取值0或取值1的变量。这里0和1无大小之分，实际上代表着矛盾的双方或事件的真假，例如开关的接通与断开，电压的高和底，信号的有
2、和无，电灯的亮和灭等等。只要是两种稳定的物理状态，都可以用0和1这两种不同的逻辑值来表征。,二、逻辑函数的定义,设某一电路的输入逻辑变量为A1, A2, , An , 输出逻辑变量为F。如果当A1, A2 , , An 的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则F称为A1, A2, , An , 的逻辑函数，记为 F=f (A1, A2, , An),逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述。,与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点：1）逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1；2）逻辑函数与逻辑变量的关系由“或”、“与”、“非”运算决定。,三、逻辑函数的相等,设有两个逻辑函数,F1=f1 (A1, A2,
3、 , An) F2=f2 (A1, A2, , An),若对应于A1, A2, , An的任何一组取值, F1 和F2的值都相同, 则称函数F1和函数F2相等, 记作F1= F2，,亦称函数F1与F2等价。,等号“=”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系,一、“或“运算,如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为“或“逻辑。在逻辑代数中，“或“逻辑关系用“或“运算描述。“或“运算又称逻辑加，其运算符为“+“或“ “，两个变量的“或“运算可表示为: F=A+B 或者 F=AB,读作“F等于A或B”，其中A、B是参加运算的两个逻辑
4、变量，F为运算结果。意思是：只要A、B中有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0。,2.1.2 基本逻辑运算,“或“运算表,由“或”运算的运算表可知“或”运算的法则为：,0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1,实现“或“运算的逻辑电路称为“或“门。,F=A+B,二、“与“运算,如果决定某一事件的发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为“与“逻辑。逻辑代数中“与“逻辑关系用“与“运算描述。“与“运算又称逻辑乘，其运算符为“或“。两变量的“与“运算可表示为 FA B 或者 F=AB 读作“F等于A与B“，意思是若A B 均为1，则F为1；否则F为0。,“与“运算
5、表,由“与”运算的运算表可知“与”运算法则为：,0 0 = 0 1 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1,实现“与”运算的逻辑电路称为“与”门。,FA B,三、“非“运算,如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为“非“逻辑。“非“逻辑用“非“运算描述。“非“运算又称求反运算，运算符为“或“. “非“运算可表示为,读作“F等于A非“，意思是若A0，则F为1；反之，若A=1, 则F为0。,“非“运算表,由“非”运算的运算表可知“非”运算法则为：,实现“非”运算的逻辑电路称为“非”门。,公理1 交换律 A+B=B+A, A B=B A,公理2 结合律 (A+B)+C=A+(B+C
6、), (A B) C=A (B C),公理3 分配律 A+ ( B C ) =(A+B) (B+C), A ( B+C ) =A B+A C,公理4 01律 A+ 0 =A, A 1=A A+1=1, A 0=0，,满足下列公理：,2.1.3 逻辑函数的表示法,一、逻辑表达式,由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。,进行“非“运算可不加括号, 如,“与“运算符一般可省略, AB可写成AB.,可根据先“与“后“或“的顺序去括号, 如： (AB)(CD)ABCD,例：,逻辑表达式书写省略规则：,常用逻辑表达式的读法：,二、真值表,真值表是一种由逻辑变量的所有可能的取值组合及其对应的逻辑函数
7、值所构成的表格.,三、卡诺图,卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能组合的小方格构成的图形，可以表示并化简逻辑函数。,2.2 逻辑代数的基本定理和规则,2.2.1 基本定理,定理1 000 101 011 111 0 0 0 1 0 00 1 0 1 1 1,定理2(重叠律) AAA A A A,定理3(吸收律) AA BA A ( A +B)A,2.2.2 逻辑代数的重要规则,一、代入规则,任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。,二、反演规则,如果将逻辑函数F中所有的“ “变成“+“, “+“变成“ “,
8、 “0“变成“1“, “1“变成“0“, 原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得到的新函数是原函数的反函数,使用反演规则时, 应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。,例如：已知,例：利用反演规则求下列逻辑函数的反函数。,解：,三、对偶规则,如果将逻辑函数F中所有的“ “变成“+“, “+“变成“ “, “0“变成“1“, “1“变成“0“, 则所得到的新逻辑函数F的对偶式F。如果F是F的对偶式，则F也是F 的对偶式，即F与F互为对偶式。,求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。,对偶规则应用：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F 和G 也相等。,(A+B)C,则：,
9、=,例：利用对偶规则求下列逻辑函数的对偶式。,解：,2.3 逻辑函数表达式的形式与变换,2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式,两种基本形式：“积之和“表达式与“和之积“表达式.,2.3.2 逻辑函数表达式的标准形式,一、最小项,如果一个具有n个变量的函数的“积“项包含全部n个变量, 每个变量都以原变量或反变量形式出现, 且仅出现一次，则这个“积“项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成, 那么该函数表达式称为标准“积之和“表达式, 即“最小项之和“.,三变量函数的最小项：,N个变量，可构成2n个最小项,通常用mi表示最小项,各乘积项中原变量记为1，反变量记为0，得到二进制数，对应的十进制
10、数为下标i,=m2+ m3+ m6+ m7,注意：变量的顺序.,即n个变量的所有最小项之和恒等于1。,所以,= m(2, 3, 6, 7),最小项的性质：,2）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出 函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的 最小项填“1”） 。,4）n变量的最小项有n个相邻项。,相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。,一对相邻项可以消去一个变量。,1) 对任何一个最小项mi，只有一组变量的取值能使其值为1。例ABC，只有在A,B,C的取值分别为1,0,1时，其值才为1。,二、最大项,如果一个具有n个变量的函数的“和“项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反
11、变量形式出现，且仅出现一次，则这个“和“项称为最大项。假如一个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称为标准“和之积“表达式。,三变量函数的最大项：,N个变量，可构成2n个最大项,通常用Mi表示最大项,或项中原变量记为0，反变量记为1，得到二进制数，对应的十进制数为下标i,注意：变量顺序.,与最小项类似，有,例如：,最大项的性质：,2）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出 函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的 最大项填“0”）。,4）n变量的最大项有n个相邻项。,相邻项:只有一个变量不同（以相反的形式出现）。,一对相邻项可以消去一个变量。,1) 对任何一个最大项Mi，只有一组
12、变量的取值能使其值为0。例A+B+C，只有在A,B,C的取值分别为0,1,0时，其值才为0。,三、两种标准形式的转换：,以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。,= m(2, 3, 6, 7),且有,即：最大项与最小项互补。,摩根律,2.3.3 逻辑函数表达式的转换,任何一个逻辑函数，总可以将其 转换成“最小项之和“及“最大项之积“的形式, 常用代数转换法或真值表转换法.,一、代数转换法,用代数法求一个函数“最小项之和“的形式，一般分为两步：,第一步：将函数表达式变换成一般的“与或“式.,F(A,B,C) = m0+m1+m3+m6+m7,=m(0,1,3,6,7),
13、类似地，用代数法求一个函数“最大项之积“的形式，也可分为两步：,第一步：将函数表达式转换成一般“或与“式；,如果给出的函数已经是“或与“式，则可直接进行第二步。,第二步：反复在非最大项的和项中加上它所缺变量的“原”、“反”之积，使用分配率，直到把全部和项都变成最大项。,F(A,B,C) = M1 M3 M6 M7,=M(1,3,6,7),二、真值表转换法,一个逻辑函数的真值表与它的最小项表达式和最大项表达式均存在一一对应的关系。函数F的最小项表达式由使F取值为1的全部最小项之和组成。函数F的最大项表达式由使F取值为0的全部最大项之积组成。,和“最大项之积“的形式。,解：,注意：任何一个逻辑函数
14、的两种标准形式唯一 .,2.4 逻辑函数的简化,一般来说, 逻辑函数表达式越简单, 设计出来的电路也就越简单。把逻辑函数简化成最简形式称为逻辑函数的最小化, 有三种常用的方法, 即代数化简法、卡诺图化简法和列表化简法。,2.4.1 代数化简法,该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。,一、“与或“式的化简,化简应满足的两个条件：,1） 表达式中“与项“的个数最少；,2） 在满足1）的前提下, 每个“与项“中的变量个数最少。,二、“或与“式的化简,化简应满足
15、的两个条件：,1） 表达式中“或项“的个数最少；,2） 在满足1）的前提下, 每个“或项“中的变量个数最少。,解：,= A(B+C),解：,2.4.2 卡诺图化简法,该方法简单、直观、容易掌握, 当变量个数小于等于6时非常有效, 在逻辑设计中得到广泛应用。,一、卡诺图的构成,n个变量的卡诺图是一种由2n个方格构成的图形, 每一个方格表示逻辑函数的一个最小项, 所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们相邻关系的方格阵列。因为任意一个逻辑函数都 可表示成“最小项之和“的形式, 所以一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。,二变量卡诺图,三变量卡诺图,四变量卡诺图,定义：彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最小 项(或“与项“)称为相邻最小项(或相邻“与项“).,相邻最小项在卡诺图中有三种特征，即几何相邻、相对相邻和重叠相邻。,卡诺图在构造上具有以下两个特点：,1）n个变量的卡诺图由2n个小方格组成, 每个小方格代表一个最小项。,2）卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。,二、逻辑函数的卡诺图表示,将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的相应方格中标以1，剩余方格标以0或不标。,1、“与或“式的卡诺图表示.,直接将表达式的“与项“或“最小项“所对应的方格标以1.,
