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1、考点突破,夯基释疑,考点一,考点三,考点二,例 1,训练1,例 2,训练2,例 3,训练3,第 4 讲 直线、平面垂直的判定与性质,概要,课堂小结,判断正误(在括号内打“”或“”) (1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.( ) (2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),夯基释疑,考点突破,证明 (1)在四棱锥P-ABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD， ACCD，且PAACA， CD平面PAC 而AE平面PAC， CDAE
2、.,利用判定定理证明,考点一 直线与平面垂直的判定与性质,【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,考点突破,(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中点，AEPC 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD 而PD平面PCD，AEPD PA底面ABCD， PAAB 又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD 又ABAEA， PD平面ABE.,利用判定定理证明,考点一 直线与平面垂直的判定与性质,【例1】如图，在四棱锥
3、P-ABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,考点突破,规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义； 判定定理； 垂直于平面的传递性(ab，ab)； 面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,考点一 直线与平面垂直的判定与性质,考点突破,所以AEBC，AEABBC， 因此四边形ABCE为菱形， 所以O为AC的中点 又F为PC的中点， 因此在PAC
4、中，可得APOF. 又OF平面BEF，AP平面BEF， 所以AP平面BEF.,考点一 直线与平面垂直的判定与性质,证明 (1)设ACBEO，连接OF，EC,O,考点突破,(2)由题意知EDBC，EDBC， 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此BECD 又AP平面PCD， 所以APCD，因此APBE. 因为四边形ABCE为菱形， 所以BEAC 又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC,考点一 直线与平面垂直的判定与性质,O,考点突破,考点二 平面与平面垂直的判定与性质,【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，
5、AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN.,证明 (1)法一 取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点，,所以EHCD，且EHCD 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CEDH. 又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此，CE平面PAD,H,利用判定定理或面面平行证明,考点突破,考点二 平面与平面垂直的判定与性质,【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN.,法二 连接CF.,又AFCD
6、，所以四边形AFCD为平行四边形 因此CFAD 又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD 因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EFPA 又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD 又CE平面CEF，所以CE平面PAD,利用判定定理或面面平行证明,考点突破,考点二 平面与平面垂直的判定与性质,【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAC，ABPA，AB CD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN.,(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，
7、 所以EFPA 又ABPA，所以ABEF. 同理可证ABFG. 又EFFGF，EF平面EFG， FG平面EFG， 因此AB平面EFG. 又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD，又ABCD， 所以MNAB 因此MN平面EFG. 又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,利用判定定理证明,考点突破,规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a) (2)已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,考点二 平面与平面垂直的判定与性质,考点突破,证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的
8、中点， 所以DEPA 又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF. (2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点， PA6，BC8，,考点二 平面与平面垂直的判定与性质,【训练2】(2014江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC,考点突破,考点二 平面与平面垂直的判定与性质,【训练2】(2014江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线PA平面D
9、EF；(2)平面BDE平面ABC,又因为DF5，故DF2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC 又DE平面BDE， 所以平面BDE平面ABC,接上一页,考点突破,(1)解 在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB又ABAD，PAADA， 从而AB平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而APB为PB和平面PAD所成的角 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,考点三 线面角、二面角的求法,【例
10、3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角A-PD-C的正弦值,考点突破,(2)证明 在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA由条件CDAC，PAACA， CD平面PAC 又AE平面PAC，AECD 由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中点，AEPC 又PCCDC，综上得AE平面PCD,考点三 线面角、二面角的求法,【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，AB
11、C60，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值,考点突破,(3)解 过点E作EMPD，垂足为M， 连接AM，如图所示 由(2)知，AE平面PCD， AM在平面PCD内的射影是EM， 则AMPD 因此AME是二面角APDC的平面角 由已知，可得CAD30. 设ACa，可得,考点三 线面角、二面角的求法,【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APD
12、C的正弦值,M,考点突破,在RtADP中，AMPD， AMPDPAAD，,考点三 线面角、二面角的求法,【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值,M,考点突破,规律方法 求线面角、二面角的常用方法： (1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解 (2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质,考点
13、三 线面角、二面角的求法,考点突破,(1)证明 如图所示， 连接AC，AC交BD于O，连接EO. 底面ABCD是正方形， 点O是AC的中点 在PAC中，EO是中位线， PAEO. 而EO平面EDB且PA平面EDB， PA平面EDB,【训练3】(2014天津一考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)证明PA平面EDB； (2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小,考点三 线面角、二面角的求法,O,考点突破,(2)证明 PD底面ABCD，且DC底面ABCD， PDDCPDDC，可知PDC是等
14、腰直角三角形 而DE是斜边PC的中线，DEPC 同样，由PD底面ABCD，得PDBC 底面ABCD是正方形，有DCBC BC平面PDC 而DE平面PDC，BCDE. 由和推得DE平面PBC 而PB平面PBC，DEPB 又EFPB且DEEFE， PB平面EFD,考点三 线面角、二面角的求法,O,【训练3】(2014天津一考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)证明PA平面EDB； (2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小,考点突破,(3)解 由(2)知，PBDF. 故EFD是二面角CPBD的平面角 由(2)知DEEF，PDDB 设正方形ABCD的边长为a，,考点三 线面角、二面角的求法,O,EFD60.二面角CPBD的大小为60.,【训练3】(2014天津一考)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)证明PA平面EDB； (2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小,1证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90. (2)平面几何中证明线线垂直的方法 (3)线面垂直的性质：a，bab. (4)线面垂直的性质：a，bab.,
