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1、建筑力学,第二章 平面力系,目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程基本形式求解平衡问题。教学重点：平衡方程的正确运用。教学难点：对平衡方程的理解。,引 言,力系分为：平面力系、空间力系,1，平面力系力都作用于同一平面内的力系。 所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。其实是人为的把力归在同一平面内，或是设计时就有意识的把力放在同一平面内。 2，平面力系的简化将一些力简化为同一力系的力。 如：钢筋混凝土梁板结构的简化。,3，平面力系的种类： 1）平面汇交力系：在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系；,2）平面平行力系： 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系；,3
2、）平面一般力系： 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系。,4）平面力偶系： 平面力系仅由力偶组成。,力偶与力偶矩,由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。如图所示，记作（F，F）。力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。,平面力偶系,如司机用双手转动驾驶盘，钳工用丝锥攻螺纹，人们用手指转动钥匙或水龙头等等都是力偶作用的例子。,由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作,力偶不能合成为一个力，但又不平衡，故力偶也不能用一个力来平衡。力偶和力一样为一个基本力学量。,力偶的作用只改变物体的转动状态，其
3、效应用力偶矩来度量，其值为力与力偶臂的乘积，即Fd与矩心位置无关。平面力偶对物体的作用效应，由两个因素决定：,因此，平面力偶矩是一个代数量，以M表示，即,M=Fd=2AABC,转向用正负号表示，用力矩规定。力偶矩的单位为Nm，与力矩相同。,（1）力偶矩的大小 （2）力偶在作用面的转向。,同平面内力偶的等效定理,定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,这样，力偶中的力的大小和力臂长短都不是力偶的特征量，故常用下图所示的符号表示。,（1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响它对于刚体的效应。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面的位置无关。,由此可得两个推论：,（2）只要
4、保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,=,=,=,F,F,d,F1,F1,d1,F2,F2,d2,M,平面力偶系的合成与平衡 (1) 平面力偶系的合成,M1=F1d1 M2=-F2d2,根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长d的力偶，如图（a)分别为,M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d,F=F3-F4 F=F3-F4,将作用在点A、B的力分别合成得,设在刚体同一平面内有两个力偶，所示,同理，可以推得几个力偶的合成。即作用于刚体同平面内的任意个力偶可以合成一个合力偶，合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和。可表示为,F
5、，F组成一新力偶即为合力偶 ，合力偶 的矩为,M=Fd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2,（2）平面力偶系的平衡,若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即,上式是平面力偶系平衡的必要与充分条件，即平面力偶系的平衡方程。只有一个独立方程，只能求解一个求知数。,一简支梁作用一矩为M 的力偶，不计梁重，求二支座约束力。,梁上除作用有力偶 M 外，还有反力FA，FB 。,解：以梁为研究对象。,因为力偶只能与力偶平衡，所以 FA=FB。,又 M = 0 即 M - FAl = 0 所以 FA =FB = M / l,例题 2-1,横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力偶的作
6、用，其力偶矩为M，如图所示。不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。,例题 2-2,选梁AB为研究对象。梁所受的主动力为一力偶，AD是二力杆，因此A端的约束力必沿AD杆。根据力偶只能与力偶平衡的性质，可以判断A与B 端的约束力FA 和FB 构成一力偶，因此有：FA = FB 。梁AB受力如图。,解得,解,列平衡方程：,如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30，不计杆重，试求M1和M2间的关系。,例题 2-3,写出杆OA和DB的平衡方程： M = 0,因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FB
7、A只能沿A，B的连线方向。,解：,分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。,因为,所以求得,例题 2-3,平面汇交力系,若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，称此力系为平面汇交力系。,1.平面汇交力系合成的几何法 设刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，其汇交点A，,如图（a）所示。根据力的平行四边形法则，可逐步两两合成各力。由F1、F2FR1，由FR1、F3FR2；由FR2、F4FR。如图（b）,还可用更简便的方法求此合力FR的大小和方向。任取一点a将各力的矢量依次首尾相
8、接，由此组成一个不封闭的力多边形abcde,其封闭边ae为合力FR大小和方向，如下图。,根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢ae仍然不变。合力的作用线仍应通过原汇交点A。 总之，平面汇交力系可简化为一个合力：其大小和方向等于各分力的矢量和（n个之和），其作用线通过汇交点。即,力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以称此力为汇交力系的合力。,如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向取决于各分力的代数和，即,对于平衡情形下，显然有力系的合力为零，其力多边形自行封闭。故平面汇交力
9、系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即,其几何条件是力多边形自行封闭。,2. 平面汇交力系平衡的几何条件,如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾子中心O处作用一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。,例题 1-1,1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。,各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。,由已知条件可求得,再由力多边形图c 中
10、各矢量的几何关系可得,解得,解：,2. 碾子能越过障碍的力学条件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。,3. 拉动碾子的最小力为,由此可得,几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图；作力多边形，选择适当的比例尺；求出未知数,几何法解题不足： 精度不够，误差大 作图要求精度高；不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法。,3.1 力的分解与力的投影,3 平面汇交力系合成与平衡的解析法,两个汇交力可以合成一个合力，其结果是唯一的。反之，若将一个力分解成两个力，如果没有足够的附加条件，则其解答是无穷多的（是不定的）。但一般将它分解为两个正交的分力FRx、FR
11、y，如图所示：则,而,Fx和Fy称为力FR在x和y轴上的投影,i, j 分别是x和y轴方向的单位矢量,由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。不过应注意的是：分力是矢量，而力的投影是代数量,确定不出力矢作用位置，它们是两个不同的概念。只有对于正交坐标系它们之间才有关系：,其中,如果已知力FR在x和y轴上的投影，则可求得力FR的大小和方向余弦为,上式也称为力的解析表达形式,3.2 平面汇交力系合成的解析法,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,合力的大小：方向：,4. 平面汇交
12、力系的平衡方程,由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力FR等于零，即,欲使上式成立，必须同时满足,于是，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立方程，可以求解也只能求解两个求知数。,求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。,解：,根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：,例题 1-1,合力的大小：,合力与轴x，y夹角的方向余弦为：,所以，合力与轴x，y的夹角分别为：,例题 1-1,利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊
13、起一货物重P = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小， 试求杆AB和BC所受的力。,例题 1-2,1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。,2.画出受力图。,3.列出平衡方程：,联立求解得,解：,约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。,如图所示，重物P =20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,例题 1-3,列写平衡方程,解方程得杆AB和
14、BC所受的力:,解：,取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。,显然，F1=F2=P,梯长AB =l ，重P =100 N，重心假设在中点C，梯子的上端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角。,例题 1-4,梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于D点。,1.求约束力。,解：,列平衡方程：,联立求解，考虑到 = 5 ，得,FA=83.9 N， FB=130.5 N,角可由三力汇交的几何关系求出。,已知C是AB中点，DE是平行四边形ADBE的对角线，所以C也是DE的中点。,2.求角。,由直角三角形BE
15、C和BED，有,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊 或特殊，都用解析法。,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,平面任意力系的简化,若所有力的作用线都在同一平面内，且它们既不相交于一点，又不平行，此力系称为平面任意力系，简称平面力系。要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。
16、力系简化的理论基础是力线平移定理。,1力线平移定理,作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。,力线平移定理揭示了力与力偶的关系。 力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。,说明：,设刚体上有一平面任意力系F1，F2，Fn，如图（a）。应用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1，F2，Fn以及相应的附加平面力偶系M1，M2，Mn，如图（b）。再将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FR，如图（c）,即,(c),2.平面任意力系向一点简化,平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即,FR是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的主矢。MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指明力系是对于哪一点的主矩。,
