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1、第2章 控制系统的数学模型,重点：,典型环节的传递函数,复阻抗法求电网络传递函数,闭环系统的传递函数及其求法,用结构图等效变换求传递函数,信号流图,研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表达式，称为系统的数学模型（Mathematical Model）。描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为动态及稳（静）态模型。 经典控制理论中常用的数学模型有时域（Time Domain）模型微分方程；复频域（Complex Frequency D
2、omain）模型传递函数、动静态框图；频域（Frequency Domain）模型频率特性、Bode图等。这些数学模型一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。,通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的系统慨念、指标体系等易于人们理解和使用。但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时域之
3、间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。,系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论解析法建立系统的数学模型。,
4、21 系统的微分方程的编写,一、微分方程的建立控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件 或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中 含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称 为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最 高导数项的阶数，又称为系统的阶数。建立系统微分方程的一般步骤或方法：1分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引入中间变量。,2根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次要因 素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。常用定
5、律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热力学定 律等 3消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。 4. 将微分方程写成标准形式 输入量及其导数项按降价排列写在方程右边 输出量及其导数项按降价排列写在方程左边 必要时将各导数项系数整理成具有一定物理意义的系数 (时间常数和传递系数) 等,举例,电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。像电阻、电感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有
6、源器件或电源，就称为有源网络。,【例2-1】 求RLC电路的微分方程,解:(1)确定输入: ui(t) 输出: u0(t),(2) 列原始方程,(3)消去中间变量 并标准化,令: T1 = L/R, T2 = RC 则,上式称为线性常系数二阶微分方程。,机械系统,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。,【例2-2】 求弹簧 质量 阻尼器组成的机械位移系统的微分方程。,解: (1) 确定输入: F ； 输出: x,(2)列原始方程 SF=ma,(3)标准化,比较例2-1和例2-2可见，虽然它们为
7、两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。L-m;R-f;1/C-k;ui-F等 意义:利用电路或其他简单系统研究复杂系统,机电系统,【例2-3】他励直流电动机电枢控制的微分方程,图示为一他励直流电动机电枢控制。图中，n为电动机转速，mc为折算到电动机轴上的总负载力矩（Nm），ua为电枢电压（V）。设激磁电流恒定，并忽略电枢反应。,解: (1) 确定输入输出量: 输入量: 给定输入-电枢电压ua 扰动输入-负载转矩mc 输出量: 电动机转速n,(2) 列写原始方程,(3)从式(2-7) (
8、2-10)中消去中间变量并标准化,二、微分方程的增量化表示 平衡状态 若上例电动机处于平衡状态，则各变量的各阶导数为零，代数方程：静态数学模型 将变量用平衡状态附近的增量表示。用下标0表示平衡状态，表示增量。,代入原方程， 则,在平衡状态附近的增量化表示式,增量化方程与原方程形式上相似，但其变量用平衡状态附近的增量表示。方程表示平衡状态附近输出增量与输入增量之间的关系。 以后为了方便，将去掉增量符号,三、非线性方程的线性化,为什么要线性化?实际对象总存在一定非线性线性系统具有较完整的理论 线性化条件实际工作情况在某平衡点附近(静态工作点)变量变化是小范围的函数值与各阶导数连续,至少在运行范围内
9、如此; 满足上述条件,则工作点附近小范围内,各变量关系近似线性。,线性化方法: 将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。 举例:直流电动机 直流发电机的输出电势与磁通成正比，在一定范围内与励磁电流成正比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x励磁电流， y发电机的输出电势。 y=f(x) 设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化 x， y=y0+ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即,略去高次项，,略去增量符号，则函数y
10、=f(x)在工作点（x0 , y0 ）附近的线性方程为,控制系统的数学模型微分方程,线性定常系统微分方程的一般形式,线性定常微分方程求解,微分方程求解方法,四、复习拉普拉斯变换有关内容,1 复数有关概念,（1）复数、复函数,复数,复函数,例1,（2）模、相角,（3）复数的共轭,（4）解析,若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。,模,相角,2 拉氏变换的定义,拉氏变换是将连续（时间）函数这样的实变函数经过积分变换运算变换为 复变函数的过程。,（1）阶跃函数,3 常见函数的拉氏变换,称A为阶跃函数的阶跃值。当A1时，称为单位阶跃函数，记作1（t）。,斜坡函数又称为速度函数
11、，数学描述定义为r (t) 0，t 0 定义：r (t) =Bt，t 0 斜坡函数的微分为阶跃函数，它表示斜坡函数的速度变化，故称B为斜坡函数的速度阶跃值。当B1时，称为单位斜坡函数。拉普拉斯变换为 ：,（2）斜坡函数,0， (t 0,th),，( 0 t h ),定义：r(t) =,理想单位脉冲函数的拉普拉斯变换为：,（3）脉冲函数,（4）指数函数,（5）正弦函数,（1）线性性质,4 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,证明：,0初条件下有：,例2 求,解.,例3 求,解.,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例4 求 Lt=?,解.,例5 求,解.,（4）实位移定理,证明：,
12、例6,解.,令,（5）复位移定理,证明：,令,例7,例8,（6）初值定理,证明：由微分定理,例10,（7）终值定理,证明：由微分定理,例11,（终值确实存在时）,例12,1 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2 常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,拉氏变换小结,拉氏变换小结,（2）微分定理,3 L变换重要定理,（5）复位移定理,（1）线性性质,（3）积分定理,（4）实位移定理,（6）初值定理,（7）终值定理,拉氏反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,五、复习拉普拉斯反变换有关内容,用留数法分解部
13、分分式,一般有,其中：,设,I. 当 无重根时,解.,解.,解一.,解二：,II. 当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),解.,用拉氏变换方法解微分方程,步骤: (1)方程两边取拉氏变换,并代入初始条件; (2)写出输出量的拉氏变换C(s); (3)取拉氏反变换求出 c(t)。,L变换,系统微分方程,L-1变换,22 传递函数,一.传递函数基本概念,经典控制理论中最重要的数学模型,基本思想：零初始条件下，通过拉氏变换，将微分方程变为S域（复数域）内代数方程，在S域内研究对象的运动，进行系统的综合，必要时，通过拉氏反变换转变为时域形式。,优点：微分方程问题化为代数方程问题。,1.定义 零初
14、始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,传递函数,输入输出关系,控制系统微分方程式的一般形式为：设r（t）、c（t）初始条件为零，并对上式进行Laplace变换，经整理得：M（s）传递函数的分子多项式； N（s）传递函数的分母之多项式。,2.性质, 传函是物理系统在复数域内的动态数学模型,系数及阶 次均为实数,只取决于系统的结构和参数,与输入等外部因 素无关; 传递函数不能反映系统或元件的物理组成,物理性质 截然不同的系统或元件,可以有相同的传递函数; G(s)只表明输入与输出的动态联系,不能反映系统内部 变化情况;,实际系统是复变量 s 的有理分式,传函分母的阶次n大于 等于分子
15、阶次m,即n m;传递函数的适用范围 仅适用于线性定常系统 初值为零-意味着相对系统的平衡点，输出量和输入量的（增量）初始值均为零。,3. G(s)的两种标准形式, 零、极点表达式, 时间常数表达式,如果传递函数中有 个等于0的极点，并考虑到既有实数零点、极点，又有共轭复数零点、极点时，上面两种表达式为：,典型环节概念 所对应的传函是传函中最基本、简单的一些形式。属于同一典型环节的元件，物理过程可能极不相同，但却具有相同的运动规律。复杂对象的传函可分解为典型环节传函的乘积。,下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。,二. 典型环节及其传递函数,输出量与输入量成比例关系，无惯性无失真,c
16、(t) = Kr(t) , t0,传递函数,1. 比例环节,例:运算放大器,2. 惯性环节,T-时间常数 K -比例系数,3. 积分环节,4. 振荡环节,例 RLC电路,5. 微分环节,理想微分:,G(s) = Ks,实际微分环节:,例: RC微分电路,实际一阶微分环节,G(s) =K(ts+1),一阶微分（比例加微分）,二阶微分（比例加微分）,6. 延迟环节:,c(t) = r(t-),输出量完全复现输入量,但比输入信号滞后时间,传递函数的求取 直接计算法 对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数。 求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。,
