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1、第四章 微商与微分,微商概念来自一个连续量随另一个速度量变化的“瞬时”变化率。,1 微商的概念及其计算,例1,变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,求非均匀棒的密度(一点的线密度,这段的质量,这段上的平均密度,因而,例 2,说明,微商是一种特殊的极限,1 微商的定义,上面两个例子:虽然问题的具体意义不同,但仅从数量方面来看,它们都是利用函数的改变量与自变量的改变量之比(即函数的平均变化速度)的极限来刻画这个函数在一点的变化速度,抽象化的。,它们之比为,例3,的微商。,时,函数有改变量,它们之比为,注意到第三章第三节讲到的两个
2、重要的极限之一,就是,因此,当给自变量以改变量,例4,为曲线,上点,在,处的,法线方程为,处切线(如果存在)的斜率。,由此:曲线,切线方程为,2 微商的几何意义,开始,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,割线的极限位置切线位置, 切 线:,求曲线,在对应于,处的切线方程和法线
3、方程,例5,在上面的定义4.1中,考虑,和,便有定义:,或写成,和,!给出了证不可导的有效方法,注:,3. 可导与连续的关系,定理4.1,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,4. 微商的计算,原料,加工,产品,基本初等函数的微商公式,四则运算,复合运算,微商法则,初等函数的微商,(1)常值函数,(2),其中,是正整数,(3),正弦函数,与余弦函数,特别,(4)对数函数,基本初等函数的微商公式,微商的四则运算法则,由定理4.2可得,定理4.2,反函数微商法则
4、,证明:由,在,附近连续且严格单调,则反函数,在,点附近连续且严格单调。因此,若,则,,且当,时有,故由复合函数求极限法则得,。,定理4.3,(5),指数函数,:为,的反函数 而,(6)反三角函数,到此:第一步基本上完成(还差一点),核心,最重要:,链式法则:推广到多个。,复合函数求导法则,(7)幂函数,的微商,特别:,总结:,98页 微商公式表和运算法则。要求:熟记,设,(x-1),求,两边取对数得,解,上式两边对x求导得,例10,因此,设,,求,解 两边取对数,再两边对x求导得,故,例11,例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法,它简化求导运算。例11也可用链式法则求得。 因为,,
5、所以,函数,是初等函数,故在定义域内连续,但,故,点不可导。当,时有,几何上表示曲线在x=1处的切线平行于y轴。,下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。,例12,设,当,时,函数,是可导的:,显然,在,连续。由于极限,不存在,故,在,点不可导。我们知道,当,时,,不断地在1和-1之间摆动。从图形上看就是当Q点沿曲线趋于原点时,割线OQ在直线,之间摆动。,例13,注意,并不是割线不断摆动就无切线。例如函数,有,故,可见,在,点可导,事实上在0点割线的斜率,也是不断摆动的,但它有个极限位置 y = 0.,2、微分概念及其计算,复习,1、可导和导数(微商)的概念,2、无穷小的比较,问此薄片
6、面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,引例14,边长由,其,一. 微分的概念,称为函数 在 的微分,一般:函数,给自变量一个改变量,相应地函数改变量,是否也可分成类似的两部分,从而有定义:(可微、微分),设,在,有定义,如果对给定的,,有,其中A与,无关,则称,在x点可微,,并称,为函数,在点x的微分,记为:,或,上述定义中有两个概念,一个是可微的概念,另一个是微分的概念。注意:dy 既与 x 有关又与 有关.,定义4.2,从定义可知,微分具有两大特性:,(1)微分是自变量的改
7、变量的线性函数容易计算;,(2)微分与函数的改变量,之差是比,高阶的无穷小量,思路(讨论):先看在可微的条件下:可推得什么结果?再看:反过来是否成立?(当然希望成立),在,点可微,在,点可导且,反之:设,在,点可导。则,从而有,于是,若,,则,于是,即自变量的微分等于自变量的改变量。从而,微商就是微分之商,二 微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,由定理4.5知,从微商公式表可得微分公式表,,从微商公法则可得微分法则。,当u为自变量时,函数,的微分为,当 不是自变量时,而是x的函数,时,如何?,三微分公式与运算法则:,重点指出:,由微
8、分与微商的关系:,而,,故,因此:无论u是自变量还是中间变量,,微分形式,保持不变,这一性质称为一价微分形式的不变性 。,,当,很小时,特别,常用:1),2),3),四微分在近似计算中的应用,3隐函数与参数方程微分法,前面讲过的函数关系都是用,有时自变量与因变量的对应法则由一个方程确立,即函数关系,隐藏在一个方程中,,例.,一般地:,,确定了隐函数:,例1,方程,可以确定隐函数,和,它们都是连续函数。,但也可以确定隐函数,它在,点不连续。,1、隐函数微分法,形式给出的称为显函数,,而有些隐函数却不能简单地解出,,假定在一定条件下,,方程,可以确定隐函数,并且是可导的:求,例2:,由方程,确定隐
9、函数,,求,解:,将,代入方程,,则方程为恒等式,即有,将,视为复合函数,在恒等式两边对x求导,,得恒等式,解得,例:,也可以利用微分运算求隐函数的导数,,在方程,两边求微分得,解得,例3已知,,求,解:在方程两边对x求导,并注意y是x的函数,得,解得,例4,已知,,求,解:在方程两边取对数,在方程两边对x求导,并注意y是x的函数,得,解得,2参数方程微分法,设曲线的参数方程为:,若,有反函数,,则可得复合函数,所以,也可以用微分推导:,所以,例5 ,已知椭圆参数方程为,求,解:,例6,一轮子沿一直线滚动, 轮子上一定点的轨迹曲线,称为旋轮线,其参数方程为,求出曲线上斜率为1的切线。,解: 旋
10、轮线上任一点切线的斜率为,令,,解得,,它对应旋轮线上的点,故斜率为1的切线为,化简得:,4高阶微商与高阶微分 1高阶微商的概念,一般地函数,的导数,仍然是x的函数。,可以考虑,的微商,称为,的二阶微商,(二阶导数)。记为:,二阶及二阶以上的微商统称为高阶微商。,例1,(n是正整数),,求y的各阶导数。, ,,求,解得:,,求,解得:,强调两点,方程两边再对,求导:,例3,例2,2、高阶微商的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,与二项式展开对比记忆。函数的零阶导数理解为函数本身。,4. 商:,设,,求,解:,例4,例6设,,求,解得:,易证:,,
11、故,注意:,用莱布尼茨公式当然可以。但显然是自找麻烦。,对,3. 高阶微分,函数,的一阶微分是,把它看成是,的函数,再求一次微分得,称为,的二阶微分,记为,记为,,即,注意:,的意义不同。,把,类似地定义:,的,阶微分为,于是,这正是,阶导数(微商) 符号的由来。,一般地:若,,,由一阶微分形式不变性,这时,是中间变量,故,和,不再独立,它们都是,的函数,故,高阶微分是否也具有形式不变性呢?,即当,是否成立?,公式,是中间变量时,,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,内容
12、小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法,利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,4. 高阶导数的求法,如,习题,1.设,存在,求,解:,原式=,2.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,3.设,其中,可微 ,解:,4.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,补充题,设,解:,又,1.,处的连续性及可导性.,2.,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数.,解: 由题设,存在, 因此,1) 利用,在,连续, 即,得,2) 利用,而,得,作业,P103:16.17.19 P111:2.3.4 P122:3.5.12,