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1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切,教材说明,1.本节课主要内容 是两角和与差三角函数的推导及应用，主要是运用这节知识进行三角的求值、化简、及证明，同时能理解由特殊到一般的化归数学思想方法。2.地位作用 ： 学生通过对三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后为今后研究二倍角以及三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。因此它起着承上启下的作用。同时，也是培养了学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法。,一教学目标,（一）知识目标 掌握两点间的距离公式，并学会推导和掌握两角和与差的余弦正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. （二）能力目标
2、培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。 （三）情感目标 培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。,二、教学重、难点,1. 教学重点：两点间距离公式，两角和、差正弦和正切公式的推导过程及转换； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.,三：教学方法,教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣,教学流程,两点间的距离公式 C（
3、+） 用向量法验C（） 引出诱导公式 S（+） S（） T（+） T（）,四：教学过程 （一）创设情境引入新课(35分钟） 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角、的三角函数值， 如何求+、 的三角函数值？同时我们知道在坐标轴上我们很容易 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起.,在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),.,.,P1(x1, y1),P2(x2, y2),M1(x1, 0),M2(x2, 0),N1(0, y1),N2(0, y2),Q,P1Q=M1M2=x1x2，QP2=N1N2=y1y2，,由勾股定理，
4、可得,P1P22=P1Q2+QP22,=(x1x2)2+(y1y2)2,=x1x22+y1y22,由此得到平面内 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式：,P1P2=,接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(+)用 、的三角函数来表示的问题.,分析：求cos(+) 做两个角 求两角对应坐标 利用极坐标 画圆 构建关系链接直线构造三角形 有三角全等构造全等三角行 做角-并求其坐标 两直线相等 利用距离公式化简。因此得到以下做法。,整理思路得到如下图形,如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, 并作出角、和，,P1,P2,P3,P4,+,P1(
5、1, 0),各点坐标：,P2(cos, sin),P3(cos(+), sin(+),P4(cos(), sin(),（二）,P1,P2,P3,P4,+,由P1P3P2P4及两点间距离公式，得,cos(+)12+sin2(+),=cos()cos2,+sin()sin2,利用SAS得知两三角形全等,cos(+)12+sin2(+),=cos()cos2,+sin()sin2,cos2(+)2cos(+)+1+sin2(+),=cos22cos cos+ cos2,+ sin2+2sin sin+ sin2，,22cos(+),=22cos cos,+2sin sin，, cos(+)= cos
6、 cos sin sin，,（C（+）,化简,化简,cos(+)= cos cos sin sin,（C（+）,这个公式对于任意角、都成立。 假如现在求cos(-)，现在我们猜想，假如 把换为-，利用C（+）可得：,cos,cos,cos(),+(),sin,sin()，,从而有,cos(-)= cos cos +sin sin,如何证明我们的猜想我们的猜想是正确的,根据 的推导我们同样可以用类似的方法证明，那有没有别的方法请同学使者画出图形加以证明。 分析：画出图形观察 找出对应坐标 求 cos(a - b)从而想到向量数量积的定义OA OB 由向量数量积的坐标得OA OB 两式相等化简,C
7、（+）,根据思路加于证明,如图所示：OA( cosa, sina ) OB(cosb,sinb) 由向量数量积的定义，有 OA OB=|OA|OB|cos(a-b) (1) 由向量数量积的坐标表示，有 OA OB=( cosa, sina) (cosb,sinb)=cosa cosb+sina sinb (2),cos(a-b) =cosa cosb+sina sinb 从而命题得证,由（1）和（2）得,cos,cos(,cos,+,),sin,sin.,（C（）,+,cos,),sin,=sin，,即,=sin，,由上式得,即,cos,2,=sin( )，,这就是说，诱导公式,当为任意角时仍
8、然成立.,奇变偶不变，符号看象限,探索研究：,口诀：正余余正同相连.,口诀：余余正正异相连.,探索研究,你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关系，从C 、S 出发，推导出用任意角、的正切表示tan( ) 的公式吗？,同样假如上式中以代得, tan ()=,= tan，,（），（），（）叫做和角公式,（），（），（）叫做差角公式,逻辑联系框图,（）,（）,（）,（）,（）,（）,实战练习8分钟 例1、利用和(差)公式求75，15的正弦余弦和正切的值.,解：,sin75=sin(,45+30),=sin45cos30,+cos45sin30,cos75=cos(,45+30),=cos45cos30,sin45sin30,=,+,=,+,=,-,=,例3：,分析：,布置作业：,课本习题1.3.5. 思考 假如角和角相等时，他们和与差的三角函数值又会怎样？,谢谢！,
