有序probit模型的基本原理

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1、市场微观结构 Market Microstructure,曾志钊 2002.12.13,讲稿结构,第一部分 微观结构概述 第二部分 不同期交易 第三部分 买卖价差 第四部分 离散性,第一部分 微观结构概述,市场微观结构是指资产交易价格的形成过程和运作机制，具体化为证券价格形成过程中的微观因素，包括交易品种、证券市场参与者构成、交易场所构成以及参与者行为所遵循的交易制度结构。其中最主要的是交易制度。 这里所讲的市场微观结构主要是有集中交易场所市场的微观结构。,微观结构理论主要研究：交易制度所导致的证券价格离散（如1/8美元的最低变动）；一个交易日内的不均匀交易与无交易现象；买卖价差等等。 对于长

2、期投资来说，微观结构导致的影响可以忽略，但短期则不容忽略 。 目前微观结构研究不仅仅局限于股票市场，还扩展到债券市场、外汇市场、期权市场、甚至是黄金市场。,第二部分 不同期交易,不同期交易：通常人们以特定的单位时间间隔长度（通常为1天）来记录资产价格，而事实上这些资产的交易却不是均匀发生的 。 那么，如果以规则的时间间隔来计量实际上不规则的资产交易，则不同期交易问题就产生了。,不连续交易的主要研究方面,早期的文献主要集中于不同期交易对CAPM和APT在实证中应用的影响 。 后期的文献则着眼于不同期交易所导致的伪自相关 。 这里只介绍后者,对于不同期交易导致的伪自相关的一个直观例子,假设股票A和

3、B独立，但B的交易比A频繁。如果某一影响整体市场的消息在某一交易日临近收盘的时候到达，则B的收盘价比A更可能反映这个消息的影响，原因就在于消息到达后至收盘这段期间，A可能不交易。尽管A的价格最终会反映这个消息，但当采用这种收盘报价制度时，这种滞后反映将导致A和B收益率之间的横截面伪自相关。这种滞后反映还将导致A的日收益率的伪自相关：在A不交易时，A的观察价格为零，但当A交易后，它的观察价格将回复向其累积均值，而这种均值回归将产生收益率的负的自相关。这就是由于不同期交易产生的一种伪自相关。 在随机游走和有效市场的检验中，这种伪相关必须被考虑到。,不同期交易模型,该模型由Lo and MacKin

4、lay（1990）提出 模型的目的：通过对真实收益率和观察收益率的划分来计算观察收益率的矩和协矩，从而描述不同期交易导致的伪自相关。,模型的基本假设,一、真实收益过程 1、真实收益率 为证券i在t时期的连续复利收益率 ，这个收益率是不可观察的。在不存在交易摩擦或其他制度刚性的情况下，真实收益率反映了证券基础价格的变动。它不仅反映了公司的特定信息，而且反映了市场的整体状况。,2、真实收益过程这里 是一个均值为零的共同因子，反映了信息的影响；共同因子是IID的，并且独立于任何的 （对于任意的 ）。而 则是一个均值为零的非系统性噪声。在任何时期都是横截面独立的。,3、真实收益过程的数字特征： 根据假

5、设，每一时期的真实收益率都是随机的，并且反映消息到达和非系统噪声。且有：,二、观察收益过程 1、观察收益率 取决于证券i在t时期是否交易。如果在t时期不交易，则其观察收益率为零，因为其收盘价与前期收盘价相等。如果在t时期交易，则其观察收益率等于t时期的真实收益率和前一个连续不交易期间内各期真实收益率的和。,2、例子 假设证券i连续5期的交易情况如下：在第1、2、5期交易，在第3、4期不交易。则有：则取决于第1期以前的交易情况 。,这就抓住了不交易现象作为伪自相关来源的本质：消息首先影响较为频繁交易的股票而滞后影响较不频繁交易的股票。在这种划分中，消息对收益率的影响（ ）由真实收益率反映，而不交

6、易导致的滞后影响（收益累积）则由观察收益率反映 。,三、不交易概率 假设在每一个t时期，证券i不交易的概率为 ，证券交易与否独立于真实收益率 ，且独立于任何其他随机变量。这样，不同的证券有不同的不交易概率，而每一种证券的不交易过程可以被视为是一种抛硬币的独立同分布过程（IID）。,模型的推导,引入两个伯奴力（Bernoulli）指示变量：,其中， 衡量是否交易 ，且 是独立同分布的（对于 ）； 则作为收益率是否累积的系数 。特别的，定义：,则观察收益率可以表示成：其中， 为真实收益率加权的随机权重,当 期不交易时， ，则任一 均为0，因而有 ；当 期交易时，则假设之前有连续 期不交易，于是对于

7、任一 ，都有 ，而对于 ，则有 ；因而，,观察收益率的另一种表达方式,定义随机变量则 为 期前连续不交易的期数。,这说明观察收益率是所有过去真实收益率的随机函数，即 可以表示为随机期数 的随机变量 的和。 该等式概率为 其中，第一个 意味着第 期交易，而后一个 意味着第 期交易，而 则意味着中间 期均不交易。,这表明，对于任何的 ， 均有 的概率表示成以往 期的真实收益率的累积，这种可能性确实表明不交易可能导致伪序列相关。,随机变量 的期望和方差为：,个股收益率的矩,在我们所假设的真实收益过程和不交易概率下，观察收益率过程 在一阶和二阶矩上是协方差平稳的。 假设 ，可以得到：,如果 （通常情况

8、下） ，则不交易并不会影响观察收益率的均值（5）式 ，却会扩大其方差（6）式 。 （8）式表明，一个非零的收益率预期导致个股在任何前期和后期的负的序列相关系数（但随着 的增大，相关系数的绝对值呈几何级数衰减）。 可以这么理解：在不交易时期，观察收益率为0；而在交易时，观察收益率回归到其累积收益均值，而这种均值回归就导致了负的序列相关系数。,伪自相关系数的最值,（8）式表明，观察收益率的相关系数是一个 的非正连续函数，且当 时，函数值为0，而当 时，函数值 ，因而在0，1内，必存在一个 ，使得函数值取得最小值：,只考虑一阶的情况，令 ，对观察收益率的一阶自相关系数求极值：这个最小值的取得当且仅当

9、,（9）式中，当 时，我们可以得到一阶自相关系数的下界：,结论1：对于 的下界，实践中是无法取到的。考虑一个交易日的取样间隔，典型的情形是 ，即 ，根据（9）式，一阶自相关系数的最小值为-0.037% ，而取得这个最小值的不交易概率为97.2% 。这意味着将存在连续35.4天不交易的情况,结论2：在我们所假设的真实收益过程中，使取样间隔扩大一倍，会使得 扩大一倍，但却只使 扩大为 倍。因而如果扩大样本间隔 ，不交易导致的自相关系数（绝对值）将被放大，即对于个股长期收益水平来说，更极端的自相关系数是可能产生的 。这还说明，不交易过程是不独立于取样间隔的，这个因素将在时间累积中被考虑。,组合收益率

10、的矩,假设对所有证券按照不交易的概率来进行分组，在此基础上组成等权重的证券组合：组合A包含有 个证券（不交易概率均为 ），组合B包含有 个证券（不交易概率均为 ）。定义 和 为这两个组合在 时刻的观察收益率。则,当组合A和B的证券数量无限制地增加 时（即 ），可以渐进得到组合的观察收益率的矩：,从（12）式中可以看出，组合的观察收益率与相应的真实收益率有相同的均值（这与个股类似）。而与个股收益率不同的是， 的方差渐进地小于真实收益率 的方差：,由于（15）中不交易导致的自相关系数以几何级数衰减，因而组合的观察收益率遵循一个自回归系数等于不交易概率的AR(1)过程。,个股不交易概率的估计,考虑到

11、：定义 为 个证券的观察收益率的向量，则自协方差矩阵 为：,定义 为 的第 个元素，则我们可以得到：,如果不同证券在同一时期的不交易概率是不同的，即对于 ，有 。则就是非对称的，且有：,要估计某种证券的不交易概率 ，可以首先估计一种证券的不交易概率 ： 利用样本的均值 和样本协方差 ，估计出 ；然后通过（17）式，利用样本协方差矩阵的 和 ，可以估计出 。,组合不交易概率的估计,考虑到（16）式：组合收益率的自协方差矩阵也是非对称的，且有：,对于任一组合不交易概率 的估计可以通过类似于个股的方法进行。只不过，对于 的估计更简单了：它等于 阶自相关系数的 次方根 。,时间累积 （Time agg

12、regation）,在上面的模型中，我们对于取样间隔并没有定义，但要利用实证工具检验不交易模型，就必须定义取样间隔的日历时间长度。 从前面的分析中我们知道，不交易过程是不独立于取样间隔的。如果一个时期的长度被定义为1天，那么月观察收益率的矩可以被描述成日观察收益率过程的参数的函数。,个股收益率的时间累积,定义 为证券 在 期的观察收益率，一个 期的时间长度等于 个 期的时间长度。则有：则个股观察收益率的时间累积过程 在一阶和二阶矩上是协方差平稳的：,由（18）式可知，时间累积的收益率均值是线性的，但方差却不是这样的。由于 的序列负相关，和的方差小于方差的和，即 。 时间累积会导致（21）式的自

13、相关系数的绝对值随着q的增长而衰减，但却不会影响其符号。 （21）式是一个在 上的 的非正连续函数，在 时，自相关系数等于0；而当 时，自相关系数趋近于0。因而它有最小值。,组合收益率的时间累积,定义 为组合A的观察收益率，同样的，一个 期的时间长度等于 个 期的时间长度。则有：则组合观察收益率的时间累积过程 在一阶和二阶矩上是协方差平稳的：,与个股的时间累积过程不同的是，对于特定的 ，当 时，（26）式趋向于1，因而其最大的自相关系数是1（而个股自相关系数则趋近于0）。 （21）式和（26）式除了符号不同以外，在任何给定的不交易概率下，组合的自相关系数会大于个股自相关系数的绝对值。,实证检验

14、,Lo and MacKinlay（1990）证实了下列重要结论： 1、随着q的增长，时间累积使得个股收益率的自相关系数（绝对值）减小；也就是说，对于个股的长期收益率来说，不交易的影响很小。 2、随着q的增长，时间累积使得个股收益率的自相关系数取得更小的最小值，但最小值的取得却要求更高的概率（大于0.9），因而这种影响也很小。,3、随着 的增大，在任何概率和任何q上的自相关系数的绝对值均增大。 4、随着q的增大，时间累积会减小组合收益率的自相关系数。 5、在任何不交易概率上，组合的自相关系数的量值均大于个股自相关系数的量值。 综上，不交易导致的影响最可能在组合的短期收益率上发现。,另外， Lo

15、 and MacKinlay（1990）还通过对按规模大小进行排序的20个组合的样本协方差矩阵进行计算，估算出日收益率、周收益率和月收益率所隐含的不交易概率和连续不交易期间。得出结论： 不交易可以解释部分组合自相关现象，却不是自相关的唯一根源。,不交易模型的扩展和一般化,1、放宽真实收益率IID的假设 ：允许共同因子是自相关的，例如，允许 是一个平稳的一阶自相关过程，则这会把自相关分解成两个部分：一个与共同因子联系，而另一个与不交易联系。,2、允许扰动项的横截面相关性 、多因子、扰动项的时间序列相关和共同因子与扰动项的相关等都是可以考虑的。 3、考虑不交易过程本身的相关性：例如假定 是马尔科夫链（Markov chains），即明天的交易概率依赖于今天交易是否发生 。,