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1、由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题,一、由递推公式求通项的7种方法1、 an1anf(n)型把原递推公式转化为an1a nf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n 1),例3 已知数列an中，a11，an12an3，求an.解 设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，则t3. 故递推公式为an132(an3),5、 an1pananb(p1，p0，a0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x
2、，y，从而转化为anxny是公比为p的等比数列例5 设数列an满足a14，an3an12n1(n2)，求an.,6、an1pa(p0，an0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq型数列，再利用待定系数法求解,二、破解数列中的3类探索性问题1条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意,例1 已知数列an中，a12，a
3、23，其前n项和Sn满足Sn2Sn2Sn11(nN*)；数列bn中，b1a1，bn14bn6(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnbn2(1)n12an(为非零整数，nN*)，试确定的值，使得对任意nN*，都有cn1cn成立思路点拨 处理第(2)问中的cn1cn恒成立问题，可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函数的最值,解 (1)由已知得Sn2Sn1(Sn1Sn)1，所以an2an11(n1)又a2a11，所以数列an是以a12为首项，1为公差的等差数列所以ann1.因为bn14bn6，即bn124(bn2)，又b12a124，所以数列b22是以4为公比
4、，4为首项的等比数列所以bn4n2.,(2)因为ann1，bn4n2，所以cn4n(1)n12n1.要使cn1cn成立，需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n10恒成立，化简得34n3(1)n12n10恒成立，即(1)n12n1恒成立，当且仅当n2时，2n1有最大值2，所以2，即2cn成立,点评 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇到Sn要注意利用Sn与an的关系将其转化为an，再研究其具体性质遇到(1)n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n的奇偶性的讨论而致误2结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条
5、件而无结论或结论的正确与否需要确定解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论,思路点拨 处理第(2)问中的是否存在问题，可先假设存在正整数m，n，把m，n转化为一个变量求出这个变量的范围，根据正整数求其值，若在所求范围内能够得到适合题目的值，则存在，否则就不存在第(3)问中Tn与9的大小比较可以通过构造函数，根据函数的性质比较Tn与9的大小,解 (1)因为a2aanan1， 即(anan1)(2anan1)0. 又an0，所以2anan10，即2anan1. 所以数列an是公比为2的
6、等比数列 由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12. 故数列an的通项公式为an2n(nN*),点评 对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法3存在探索性问题此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进
7、行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用,(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am1，as1，an1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由,思路点拨 第(1)问中an1与an的关系以分式形式给出，可以通过取倒数处理，目的仍然是变为等差数列或等比数列；第(3)问可先假设所探求问题存在再去求解，注意应用重要不等式进行判断,点评 数列问题是以分式形式给出条件的，一般采用取倒数，再转化为等差数列或等比数列，通过等差数列与等比数列的桥梁作用求出通项遇到多个变量的存在性问题，一般假设存在，求出满足的关系，再寻找满足的条件，一般可以利用重要不等式、值域或范围等判断是否存在,
