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1、拉格朗日用全新方法来处理力学问题，无论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束质点组的力学问题。,分析力学讨论习题课,拉格朗日方程,例1 求质点在重力场中的动力学方程,广义坐标为x,y.z,S=3, ,代入,例2求质点在单摆中的动力学方程,广义坐标为,S=1,代入,动力学方程,例3,如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子的质量可忽略不计。,分析：,利用拉格朗日方程组可求解,关键是找出广义坐标，因三个重物，,二个滑轮，在同一平面作一维运动，,需5个参量描述，又A固定和两个绳长,一定的约束，故
2、只需2个独立坐标q1，q2,解：,建立如图所示的一维坐标系Ox,三重物分别对应的坐标为x1， x2 ， x3,设滑轮A、B半周长分别为s1和s2,由图中几何关系有：,滑轮A、B上的绳长分别为l1和l2,重物,速度,不计滑轮和绳的质量，那么体系的动能为：,体系的势能为：,体系的拉格朗日函数为：,代入拉格朗日方程组有：,化简为：,解得：,所以各重物的加速度为：,在给定瞬时t，质点为约束所允许的,可能发生的无限小位移,虚位移的发生不需要时间,虚位移的个数有无穷多个,虚位移垂直于约束曲面在该点的法线，,位于约束曲面的切平面，不破坏约束,不耗时,实位移,dt(0)时间内，质点发生的真实位移,耗时,虚位移
3、,虚功原理（虚位移原理）,几何约束,运动约束 (微分约束),稳定约束,不稳定约束,不可解约束(双侧(面)约束),可解约束 (单侧(面)约束),完整约束,不完整约束,可积分成几何约束,不可积分成几何约束,约束分类,定义,设想虚位移, 等时变分算子；d 微分算子,发生在虚拟时间t(=0)内,为 t(=0) 内满足变分约束方程的矢径的变分,数学处理上，,设函数,在稳定约束情况下，实位移是无数虚位移之中的一个,在不稳定约束情况下，实位移则不一定是虚位移之中的一个,实功,作用在质点上的力在dt时间内，在实位移上做的功,设质点受到主动力,和约束力,，发生了位移,虚功,作用在质点上的力在任意时刻的虚位移上做
4、的功,理想约束,所作的虚功之和为零,力学体系下，诸约束力,在任意虚位移,中，,的约束,如光滑面,光滑曲线,光滑铰链等,但,如刚性杆、不可伸长的绳等,虚功原理（虚位移原理）,n个质点的力学体系，每个质点都处于平衡状态，,对力学体系有：,理想约束条件下，有：,虚功原理,则：,虚功原理与平衡态下牛顿第二定律,虚功原理是考虑了理想约束条件下的结果,力系平衡时的虚功,力系平衡时的方程,是等价的,动力学力系非平衡时的方程,动力学力系平衡时的方程,达朗伯-拉格朗日原理,设质点系的质点Pi受主动力Fi的作用，质点系的约束都是理想、双面约束，可能运动ri = ri(t)是真实运动的充分必要条件是：,动力学普遍方
5、程,牛顿定律和达朗伯-拉格朗日原理是等价的，但它们的思路是不同的。 牛顿定律将约束用反力来代替，直接给出各质点真实运动和主动力、约束反力的关系 达朗伯-拉格朗日原理先考虑约束对运动的限制，在约束允许的可能运动中找出真实运动。,动力学普遍方程,牛顿定律,对理想约束,由理想约束的定义和达朗伯-拉格朗日原理：,用约束反力代替约束后，质点系就变成了自由质点系，所有虚位移都是相互独立的，故,确定研究对象：整体 受力分析：画出作功的主动力 运动分析：分析加速度 给出虚位移，找出它们之间的关系 几何法：根据约束的几何关系，直接找出各点虚位移之间的关系 解析法：对约束方程进行变分，即可求得各点虚位移之间的关系
6、 列出动力学方程，并求解,达朗伯原理解题步骤,建立如图所示系统的运动微分方程。,例1,解法1,解法2,请比较用牛顿定律、达朗贝尔-拉格朗日原理和拉格朗日方程解题的优缺点。,运动分析,受力分析,列写运动微分方程,解法3 牛顿定律,建立如图所示单摆的运动微分方程。,例2,解1：,分析力学的优点,1. 消去“理想约束”，减少方程组中未知量的个数；,2. 理论完整，涉及范围广，内容丰富；,3. 学习分析力学不仅是为了提高和深化力学知识，也是为后续课程学习的的需要。哈密顿正则方程和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。,分析力学的缺点,数学推理多，容易使人忽略力学的物理实质，因此用数学来解决问题时要注意物理意义，数学毕竟是一种工具，归根结蒂要用物理知识来判断。,自己推导弹簧振子的动力学方程式（分析力学方法）,
