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1、函数模型及其应用,3.2.1几类不同增长的函数模型(1),在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透脑筋1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气,材料1：澳大利亚兔子数“爆炸”,在一个月
2、内（按30天计算），我每天给你10万元钱，你第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍，这样互相给钱你愿意吗？为什么？,材料2：比一比聪明,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？,一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 等等,对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？,例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报40元； 方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方
3、案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？,下面我们先来看两个具体问题.,分析,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元； y=40 (xN*),方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (xN*),方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.42x-1 (xN*),思考,(1)比较三种方案每天回报量 (2)比较三种方案一段时间内的总回报量,哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时
4、间选择该方案。,(3)三个函数模型的增减性如何？,(4)要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？,我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,图-1,我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？,函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。,图112-1,从每天的回报量来看： 第14天，方案一最多； 每58天，方案二最多； 第9天以后，方案三最多.,有人认为投资14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？,下面再看累计的回报数：,结论：投资16天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一
5、或方案二；投资8 10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。,一,二,三,40,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,80 120 160 200 240 280 320 360 400 440,10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660,0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8,例题的启示,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？,线性函数、对数函
6、数、指数函数,对比三种函数的增长差异,例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，,奖金总数不超过5万元，,由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。,同时奖金不超过利润的25%，,于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。,不妨
7、先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。,例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？,一次函数,对数函数,指数函数,模型限制条件： 1.奖金总数不超过5万元 2.奖金不超过利润的25% 3.利润在10万到1000万之间,我们不妨先作出函数图象：,通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。,x
8、,y,o,y=5,y=0.25x,下面列表计算确认上述判断：,y,我们来看函数 的图象:,问题:当 时,奖金是否不超过利润的25%呢?,1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：,1.005,1.0151,1.0461,1.1407,1.4295,2.3107,5,155,130,105,80,55,30,5,33733,1758.2,94.478,5,4505,3130,2005,1130,505,130,5,30,25,20,15,10,5,0,练习,2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在
9、10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？,实际 问题,读懂问题,将问题 抽象化,数学 模型,解决 问题,基础,过程,关键,目的,几种常见函数的增长情况：,小结,通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数 爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认 识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科 的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学 的应用美,作业：P107 页1、2题,(1)、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555,所以它符合资金不超过5万元的要求。,模型y=log7x+1
10、,令f(x)= log7x+1-0.25x， x 10,1000.利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此,f(x)f(10) -0.31670, 即 log7x+10.25x,所以，当x 10,1000，,令 。 利用计算机作出函数 的图象，由图象可知它是递减的，因此 即 所以当 时， 。 说明按模型 奖金不会超过利润的25%。,再计算按模型 奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当 时，是否有 成立。,综上所述，模型 确实能很符合公司要求。,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2
11、) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用,归纳总结中学数学建模的主要步骤,确定函数模型,利用数据表格、函数图象讨论模型,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义,教材110 1,2,
