《《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(2)（97页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第六节,复习 目录 上页 下页 返回 结束,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,1. 曲线方程为参数方程的情况,切线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此处要求,也
2、是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不全为0,因此得法平面方程,说明: 若引进向量函数, 则 ,处的导向量,就是该点的切向量.,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解: 由于,对应的切向量为,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 故,2. 曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点, 且有,时, 可表示为,处的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,也可表为,法平面
3、方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面
4、称为 在该点的切平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页
5、下页 返回 结束,例3. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 因此有,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2) 一般式情
6、况.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回
7、 结束,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点
8、,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切
9、向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2. 梯度的
10、几何意义,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,3. 梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,证:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、物理意义,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.,机动 目录 上页 下页 返回
11、 结束,例5.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证: 利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,
12、在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1. (1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M (1,1,1) 处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结
13、束,第九章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的极值及其求法,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极
14、值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,
