2第二章-金融工程的基本分析方法

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1、第一节 几个基本概念 第二节 无套利定价 第三节 风险中性定价 第四节 状态价格定价 第五节 积木分析法 课件和练习题发到公共信箱，请不要更改密码和删除文件。 密码：123456,第二章 金融工程的基本分析方法,复利：假设数额A以利率R投资了n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为： 如果每年计m次复利，则终值为： 当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous compounding），此时的终值为,第一节 几个基本概念,无风险利率：是指投资者可以任意借入或者贷出资金的市场利率。 现阶段，符合理论要求的无风险利率有两个：回购利率、同业市场拆借利率。我们倾向于推荐使用7天回

2、购利率的30天或90天平均值，因为同业拆借市场对一般投资者是不开放的。 在美国等债券市场发达的国家，用短期国债利率。,无风险利率,回购及回购利率,回购：是指一方用国债或其他高信用度的债券作抵押，向另一方借入资金的行为。借款到期时，借款方归还借款本金并按回购利率支付利息，另一方归还国债并收取本息。 回购利率：一般是指国债回购利率，按照时间一般又被叫做7天回购利率。把回购利率看作是使用国债借钱所需要偿还的利息。 http:/ 伦敦同业拆借利率（London Interbank Offered Rate，简称为LIBOR ）：是国际短期资金拆借市场上的基础利率。,现金流、现值、终值,现金流：一个企业

3、、机构或投资者在投资或经营过程中的支出和收入的货币称为现金流，一般用C1,C2, CT表示。 现值（PV）：现金流在当前时刻的价值。 终值（FV）：现金流在投资期结束时刻的价值。,现值终值的计算,案例2-1：考察某个5年期，息票率为5%的债券的现金流，设该债券每年年底付息一次，最后一次付息时同时返还本金，债券的面值为50000元，则投资该债券的现金流为2500，2500，2500，2500，52500.假定一年期无风险利率为4.5%。 终值FV=2500e40.045+2500e30.045+2500e20.045+2500e10.045+52500 现值PV=2500e-0.045+2500

4、e-20.045+2500e-30.045+2500e-40.045+52500e-50.045,上题中，,定价原理,绝对定价法就是根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。相对定价法的基本思想就是利用标的资产价格与衍生品价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生品价格。股票和债券定价大多使用绝对定价法。衍生品定价则主要运用相对定价法。绝对定价法是一般原理，易于理解，但难以应用；相对定价法则易于实现，贴近市场，一般仅适用于衍生品。,套利-是在某项金融资产的交易过程中，利用一个或多个市场存在的价格差异，交易者可以在不需要期初投资支出的

5、条件下获取无风险报酬。 套利的三大特征-无风险、复制、零投资 无套利定价的思想-在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。,第二节 无套利定价,无套利价格,在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。 如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态，这就是无套利均衡的定价原则。,套利组合,无风险资产多头、基础资产空头和远期合约多头构成一个典型的套利组合 。 投资者期初

6、并无投资支出，通过卖空基础资产获得无风险资产的资金来源，投资所得供远期合约交割使用，而交割所获资产又正好用来轧抵基础资产的空头 。,套利组合的特点,套利组合是自融资系统，因而市场规则允许卖空。 套利过程涉及投资的时间价值，因而套利组合中一般包含无风险资产。 套利组合是无风险的。 如果套利组合中含有衍生品，则组合中通常亦包含对应的基础资产。,套利组合的数学表达,t0期初，t期末，Si(.)资产Xi的价格xi资产Xi的数额，r无风险利率 套利组合(X1 , Xn) 期初V(t0)= x1 S1(t0)+ xnSn(t0)=0 期末V(t)= x1 S1(t)+ xnSn(t) 0 定价： V(t0

7、)= 0， V(t)= 0,一价法则,一价法则：金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同的价格。 未来现金流为0的组合，当前现金流必须为0 。 无风险组合只能获取无风险收益率。 一价法则又称为线性定价法则，是金融工程等价复制原理的核心。,复制,复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。 复制技术定价的原则：构造两个投资组合，如果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相等，否则存在套利机会。 Va(t0)= Vb(t0)， Va(t)= Vb(t),无套利定价的例子

8、-同一市场、不同资产间套利,案例2-2：市场有三种金融资产，未来可能出现两种状态，收益矩阵如下：三种金融资产的价格向量为：1,5,3 这个市场的价格体系是否合理？这样的市场行情能否产生套利活动？,案例2-2 （续）,构建三种金融资产的头寸为a1,a2,a3使得未来现金流为0，也即解得，而该头寸当前的现金流为,案例2-2 （续）,可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流为0，而当前现金流不为0，这是一种套利机会。 投资者可以持有51单位资产一的多头，38单位资产二的空头，和7单位资产三的多头，即可以得到当前118元的获利。,无套利定价的例子,案例2-3 远期利率：假设现在6个月即期年利率为10

9、%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？远期利率的无套利均衡价格应该为多少？,案例2-3 （续）,1、交易者按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元。 2、签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。 3、按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。 4、1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（=1000e0.12），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还远期协议的债务后，交易者净赚

10、17万元（1127万元-1110万元） 。,案例2-3 （续）,按10%的利率借入一笔6个月资金1元 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按r*的价格6个月后从市场借入资金1.051元（等于e0.100.5）。 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1元。 到期末：1.051er*0.5= e10.12, r*=14%,无套利定价的例子 -不同市场、不同资产间套利,案例2-4 远期外汇：假定市场条件如下：目前货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1 美元兑换1.8马克 (1:1.8)，问题是一年期的远期汇率是否还是1:1.8呢？,无套利定

11、价的例子,案例2-5 期货的价格发现功能：假设小麦一年后的期货价格是1500元/吨，市场无风险利率为5%，持有成本是30元/吨，根据持有成本理论和无风险套利规则（不考虑其他因素），则小麦当前的合理价格大约应该为（1500-30）/（1+5%）=1400（元/吨）。,案例2-5 （续）,如果现货价格低于1400元，说明现货被低估，则交易者可以做空期货的同时通过借贷以当前价格购买现货，并持有一年到期后交割，可以获得无风险利润。这样以来，小麦现货市场的价格必然上涨； 反过来，如果当前的小麦现货价格高于1400元，交易者卖空现货（如果允许卖空）的同时做多期货，则同样可以获取无风险收益。这样以来，现货市

12、场价格必然下跌，回到其合理的价格水平。,案例2-6 期权定价的二叉树模型：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，求一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 套利组合：可构建一个由一单位看涨期权空头和y单位的标的股票多头组成的无风险组合。 11y0.5=9y y=0.25-f+100.25=90.25e-0.10.25 f=0.31,无套利定价的例子,若随机过程Yt满足如下条件（1）给定新息集Ft ，Yt是已知的（2）E|Yt|（3）Et(Yt+)E(Yt+|Ft)= Yt对任意成立

13、 则称Yt为对应于信息集Ft的一个鞅。,第三节 风险中性定价,鞅的定义,等价鞅测度：资产价格St是一个随机过程，资产价格变化的实际概率分布为P，若存在另一种概率分布P*使得未来价格序列经无风险利率r贴现后（以P*计算期望）是一个鞅，即Ste-rt= E*t(St+ e -r（t+）)，等价于St = e-rE*t(St+)，则称P*为P的等价鞅测度。P*称为是风险中性概率 资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。,等价鞅测度及资产定价的基本定理,在对衍生证券定价时，可假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，因为风险中性的投

14、资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，所有的现金流都可以用未来现金流的期望值通过无风险利率贴现求得。这就是风险中性定价原理。 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。,风险中性定价,案例2-7：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,风险中性定价的例子,求风险中性概率：利用风险中性定价原理定价：,案例2-7（续）,案例2-

15、8：假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。,风险中性定价与无套利定价的等价性,构造一个由股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的.,无套利定价思路,由无套利定价原理：,求风险中性概率：,风险中性定价思路,利用风险中性定价原理定价,状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。此类资产通常被称为“基本证券”或阿罗德布鲁证券（Arrow-Debru） 。 如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况和市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。,第四节 状态价格定价,若A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA ，要么下降到dPA 。 基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。 基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2的价格是d。,