《线性代数线性相关性判定定理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数线性相关性判定定理(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、,3.3 线性相关性判定定理,定理1 向量组 (当 时)线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量(比如 )能由其余向量线性表示.,即有,故,因 这 个数不全为0,,故 线性相关.,必要性,设 线性相关,,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0,,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,向量组 (当 时)线性无关 的充分必要条件是 中任何一个向 量都不能由其余 个向量线性表示,定理1的逆否命题,(A) 中有一零向量,(B) 中任意两个向量的分量成比例,(C) 中有一向量是其余向量的线性组合,(D) 中任意一个向量是其余向量的线
2、性组合,例2 若向量组 线性相关,则 是其余向量的线性组合,这种说法对吗?,不对,例如,但 不能写成其余向量的线性组合,所以线性相关,由于,由定理1知 线性相关,证,设,线性无关,而向量组线性相关,,k,(否则与线性无关矛盾),可由线性表示.,即有,下证唯一性:,两式相减有,线性无关,,即表达式唯一.,设,定理2的逆否命题,设向量组A: 线性无关,而向量不能由向量组A线性表示,则向量组B: 线性无关。,(A)如果存在不全为零的数 使,则 线性无关,(B)若向量组 线性相关,,则 可由其余向量线性表示,(C)向量组 线性无关的充要条件是,不能由其余m1个向量线性表示。,(D)若 不线性相关,则一
3、定线性无关,例4 设 是一组n维向量,则下列结论正确的是,例5 命题:如果 线性无关,且 不能由 线性表示则 线性无关。是否为真命题?,答,此命题为定理2 的逆否命题,所以为真命题,例6 命题:设 可由 线性表示,且表示法唯一,则 线性无关。是否为真命题?,证,由已知 可由 线性表示,存在一组数 使得,设,两式相加得,因 由 唯一的线性表示,所以,所以,即 线性无关,所以此命题为真命题,证,故存在一组不全为零的数,使,从而,部分相关则整体相关,整体无关则部分无关,例7 n维向量组 线性无关的充要条件是,(A)存在一组不全为零的数,使,(B) 中任意两个向量均线性无关,(C) 中存在一个向量不能
4、由其余向量线性表示,(D) 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示,例8 设向量组 线性相关,向量组 线性无关,问,能否由 线性表示?证明你的结论,解,能,因为 线性无关,,所以 线性无关,整体无关则部分无关,而 线性相关,由定理2, 可唯一的由 线性表示,例如,是A的一个二阶子式,定理4当rn时,我们有如下推论,推论1 n个n维向量线性无关的充要条件是它们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。,推论2 n个方程的n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是系数行列式,例 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性,解,矩阵A中有3个2维行向量,由推论3知必线性相关。,因为 由推论1知B的三个行向量线性无关。,矩阵C的4个3阶子式全为零,故C的3个行向量线性相关。,(定理4的逆否命题),