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1、1安庆九一六学校 2013-2014 学年度高二第二学期期中考试 数学试卷（理科）(考试时间：120 分钟 满分:150 分）第 I 卷（满分 50 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1、用演绎法证明函数 y = x3是增函数时的小前提是 A增函数的定义 B. 函数 y = x3满足增函数的定义 C若 x1x2，则 f（x1） f（x2） D. 若 x1x2，则 f（x1） f（x2）2、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，且结论也正确的是 A 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交 B 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线
2、相交 C 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直 D 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 3、函数y=x2cosx的导数为 A.y=2xcosxx2sinx B.y=2xcosx+x2sinx C. y=x2cosx2xsinx D.y=xcosxx2sinx4、物体运动方程为4134St，则2t 时瞬时速度为A2 B4 C6 D85、在“近似替代”中，函数)(xf在区间,1iixx上的近似值A . 只能是左端点的函数值)(ixf B. 只能是右端点的函数值)(1ixfC可以是该区间内的任一函数值 iif(,1iixx） D. 以上答案均正确6、若000(2)(
3、)lim1 xf xxf x x ，则0()fx等于 A2 B2 C 1 2D17、已知22 123i4(56)izmmmzm和，其中m为实数，i 为虚数单位，若120zz，则m的值为 A4 B.1 C. 6 D.0 8、函数223)(abxaxxxf在1x处有极值 10, 则点),(ba为 A.) 3, 3( B.)11, 4( C.) 3, 3( 或)11, 4( D.不存在9、已知复数2( ,)xyi x yR的模为3，则yx的最大值是A32B. 33C12D.310、)(),(xgxf分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当0x时，20)()()()(xgxfxgxf且( 1)0f 则
4、不等式0)()(xgxf的解集为A （1，0）（1，+） B （1，0）（0，1）C （，1）（1，+） D （，1）（0，1） 第卷（非选择题 共 100 分）二填空题（本大题有 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11、已知17,35,4abc 则 a，b，c 的大小关系为_12、已知)(xf为一次函数，且10( )2( )f xxf t dt，则)(xf=_ _ 13、曲线xyln在点( ,1)M e处的切线方程为_14、不等式21ln(1)4xxM恒成立，则M的最小值为 15、观察以下不等式222222131,22 1151,233 111712344可归纳出对大于 1 的正整数
5、n 成立的一个不等式)(1.31 211222nfn，则不等式右端( )f n的表达式应为_ 三、解答题:（本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 16. (本小题满分 12 分) 已知x，yR R+，且x+y2，求证:xy yx11与中至少有一个小于 2.17. (本小题满分 12 分) 计算：（1） 221111()dxxxx（2） 若复数12 ()zai aR，234zi，且12z z为纯虚数，求1z.18(本小题满分 12 分)3已知函数3( )395f xxx.（1） 求函数( )f x的单调递增区间；（2） 求函数( )f x在 2,2上的最大
6、值和最小值.19(本小题满分 13 分)*111111234212nnNSnn 当时, 12121111 1232 (1),.(2),.nnnTnnnn S S T TST求猜想与的关系并用数学归纳法证明20(本小题满分 13 分) 给定函数xaaxxxf) 1(3)(223 和xaxxg2 )(1) 求证: )(xf总有两个极值点;(2) 若)(xf和)(xg有相同的极值点,求a的值.21(本小题满分 13 分) 设21xf( x)e (axx)(1) 若0a，讨论f( x)的单调性；(2) 当1x时，f( x)有极值，证明：当2, 0时，2| f(cos)f(sin)|.4安庆九一六学校
7、2013-2014 学年度高二第二学期期中考试 数学试卷答案（理科） 一、选择题一、选择题 题号12345678910 答案BCADCCBDDA 二、填空题11、abc 12、(x)x 1f 13、1yxe 14、1ln2415、*21( )(nN ,n2)nf nn 三、解答题： 16. 证明: (反证法):假设xy yx11与均不小于 2，即yx12，xy12， - 3 分1+x2y，1+y2x - 6 分 将两式相加得:x+y2，与已知x+y2 矛盾. - 10 分故xy yx11与中至少有一个小于 2。 - 12 分17.（1）2 11(2ln)|32 2ln22xxx解：原式- 6
8、分 （2）12238(64a)i 3425Zaia Zi 12Z Z为纯虚数故8 3a - 4 分1823Zi 5110| Z |3 - 6 分18. (本小题共 12 分)解：(1)2( )99fxx. - 2 分令2990x , -4 分解此不等式，得11xx 和. 因此，函数( )f x的单调增区间为(, 1)(1,) 和.-6 分(2) 令2990x ,得1x 或1x .-8 分当x变化时，( )fx，( )f x变化状态如下表：x-2( 2, 1)-1( 1,1)1(1,2)2( )fx+0-0+( )f x-111-111-10 分从表中可以看出，当21xx 和时，函数( )f x
9、取得最小值1.当12xx 和时，函数( )f x取得最大值 11.- 12 分19. (本小题共 13 分)解：（1）111122S ，21117123412S 111 1 12T ，2117 2 12212T 4 分（2）猜想：*()nnSTnN 即：1111111111.2342121232nnnnnn（nN*）5 分下面用数学归纳法证明 n=1 时，已证 S1=T1 6 分 假设 n=k 时，Sk=Tk（k1，kN*） ，即： 1111111111.2342121232kkkkkk7 分则111 212(1)kkSSkk611 212(1)kTkk111111 1232212(1)kkk
10、kkk 10 分11111 232112(1)kkkkk11111 (1) 1(1)22212(1)kkkkk1kT由，可知，对任意 nN*，Sn=Tn都成立. 13 分其他方法不给分其他方法不给分, , 1nk时的步骤错了，此部分不给分！时的步骤错了，此部分不给分！20(本小题共 13 分) 令0)( xf,则1, 121axax, -3 分则当1 ax时, 0)( xf,当11axa, ( )0f x 所以1 ax为)(xf的一个极大值点, -4 分同理可证1 ax为)(xf的一个极小值点. - 6 分另解：(I)因为22( )2(1)fxxaxa是一个二次函数，且22( 2 )4(1)40aa ， -4 分所以导函数有两个不同的零点，又因为导函数是一个二次函数，所以函数( )f x有两个不同的极值点. -6 分(II) 因为222)(1)( xaxax xaxg，令0)( xg,则axax21, -8 分因为)(xf和)(xg有相同的极值点, 且ax 1和1, 1aa不可能相等. -10分所以当1aa时, 21a， 当1aa时, 21a,经检验, 21a和21a时, axax21,都是)(xg的极值点.-13 分7
