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1、Page,1,第 13 章 能量法,13-1 外力功与应变能的一般表达式13-2 互等定理 13-3 卡氏定理 13-4 变形体虚功原理 13-5 单位载荷法,13-6 梁的横向剪切变形效应,Page,2,引言,求节点A的铅垂位移 的两条研究途径,方法一,方法二,压,Page,3,Page,4,几个概念,相应位移： 载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。,外力功： 载荷在其相应位移上所作之功。,广义力： 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。,广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。,13-1 外力功与应变能的一般表达式,Page,5,例：试确定图a均布载荷q 对
2、应的广义位移.,Page,6,一、计算外力功的基本公式, 线弹性体：, 载荷位移曲线所包围的面积,Page,7,二、克拉比隆定理：,已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 , 及其相应广义位移, 求外力功,(1),Page,8,Page,9, 加载过程中各载荷保持比例关系：,第一个载荷所做之功：,第二个载荷所做之功：,Page,10, 加载过程中各载荷不保持比例关系：, 最终状态相同, 考虑比例卸载过程,对线弹性体,不论按何种方式加载,广义力F1,F2,Fn在其相应位移1, 2, n上的总功恒为,Page,11, 注意：,线弹性体上作用有多个广义力时：, 广义位移可以用叠加法求解, 外
3、力功一般不可以用叠加法求解, 特殊情况：, 一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功, 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移,Page,12,三、应变能的一般表达式,拉压杆与桁架:,轴:,处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:,基本变形情况,Page,13,组合变形情况,FN(x),M(x),Fs(x),T(x),dx,组合变形杆件的总能量是否可由叠加法计算？为什么？,Page,14,非圆截面杆或杆系,圆截面杆或杆系,y , z轴主形心轴,Page,15,解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左),相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！,例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力
4、所做之总功。弯曲刚度为EI。,Page,16,解:(2) 计算外力所作之总功,梁的应变能等于外力所做总功,Page,17,例: 试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。,解法一：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：,AB段：,BC段：,Page,18,3,Page,19,解法二：A截面的挠度和转角分别为：,3,Page,20,作业 131 133,Page,21,13-2 互等定理, i 代表位置，j 代表载荷,同一弹性体的两种受力状态,Page,22,功的互等定理,若F1=F2,位移互等定理,先加 F1，后加 F2：,先加 F2，后
5、加 F1：,考察F1,F2 对弹性体的做功,Page,23, 关于功的互等定理的说明：, 成立的前提是对于线弹性体；, 两组外力之间，功的互等定理也成立；, 关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移；,Page,24,例： 测量变截面线弹性梁（图a, 截面沿宽度变化）A、B点挠度，但仅端点C适合装千分表。,解： 设图a在A点的挠度为,则,Page,25,例： 两个相联的水平梁，,Page,26,由功的互等定理,Page,27,例：等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比 求,对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?,Page,28,解： 考虑薄板受均布载荷q,Page,29,Pag
6、e,30,线弹性梁受多个广义力Fk的作用，求各广义力的相应位移k。,13-3 卡氏定理,Page,31, 卡氏定理的证明：,多个Fi的作用下：,先加上Fk ，再加上Fi,若给Fk一个增量Fk,（略去高阶小量）,Page,32,解：,Page,33,例2：求A端的转角,附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零,思考：如何求直梁在F作用下扫过的面积？,Page,34,例3：EI为常数，求wA，A,解：为避免混淆，设Fa=M,a,a,Page,35,AB段：,BC段：,得：,例4：用卡氏定理求A点挠度， 为弯曲刚度。,Page,36,等于A点挠度的两倍与B点挠度之和。,讨论：,的几
7、何意义?,Page,37, 讨论,的意义,代表AB两点的相对位移,的意义,Page,38,由A、B 两节点平衡,例： 各杆EA，求A点水平位移及AB转角,解： （1）计算A点水平位移由整体平衡,Page,39,问题 若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么办？,Page,40,作业 138 139 13-11 13-12,Page,41,13-4 变形体虚功原理,回顾刚体虚功原理,处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。,虚位移：, 满足约束条件的微小位移, 虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关, 虚功原理同样适用于变形体,Page,42,关于变形体的虚功原
8、理,变形体的虚位移或可能位移：,满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移,梁微段,刚体虚位移,虚变形,不同于刚体,Page,43,可能内力：,满足平衡方程与静力边界条件的内力, 对于静定系统，可能内力即为真实内力, 静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移边界及连续条件的可能内力才是真实内力,变形体的可能内力：,Page,44,变形体的外力虚功与内力虚功：,外力虚功：,内力虚功：,注意：1、外力在虚变形上不做功 2、内力和外力虚功都没有系数1/2,虚位移,Page,45,变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？,方法：分别从两个角度分析微段上力系的总虚功，然后各自积分，最后比较, 从微段的
9、受力角度：,微段上作用有外力和内力, 从微段的变形角度：,微段上有刚体虚位移和虚变形,Page,46,力系在刚体虚位移上所作虚功,力系在虚变形上所作虚功,刚体虚功原理,外力在虚变形上不作功,内力在虚变形上所作虚功,从微段的变形角度研究微段上力系在虚位移上所作总虚功：,微段上的力系,Page,47,外力在虚位移上所作虚功,内力在虚位移上所作虚功,1、内力均作用于切开面上,2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相反，虚位移相同,从微段的受力角度研究微段上力系在虚位移上所作总虚功：,微段上的力系,Page,48, 处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。,变形
10、体虚功原理,Page,49,例：验证虚功原理,位移边界条件与变形连续条件,Page,50,位移边界条件,静力边界条件,Page,51, 关于虚功原理：, 内力与外力平衡,外力在虚位移作功=内力在虚变形作功, 虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移，与外力可以彼此独立, 虚变形是与虚位移相对应的变形, 适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料,Page,52,13-5 单位载荷法, 回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法, 直接计算法 (画变形图、积分法等), 利用功能原理, 利用卡氏定理,不适宜解决复杂问题,只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移,只适用于线弹性体,单位
11、载荷法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。,Page,53, 单位载荷法, 理论基础：变形体虚功原理, 目标：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿任一方向的位移,例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移, A截面上没有作用广义力, 杆系结构上作用有多个广义力, 所求位移不为某一广义力的相应位移,Page,54,方法一：卡氏定理,方法二：虚功原理,处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。, 选择单位载荷状态, 选择虚位移,将真实载荷状态下的位移作为虚位移,Page,55,研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。,虚功原理的表达式：,真实载荷在微段引起的虚
12、变形：,单位载荷在微段引起的内力：,忽略剪力的影响,Page,56,对于线弹性体：,(a),(b),Page,57, 关于单位载荷法的说明：, 应用(a)式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件),应用(b)式，只能是线弹性体, 式中的A,n也可以是转角(此时单位载荷状态加的 是单位力偶),Page,58, 式中的A,n还可以是两截面的相对位移或相对转角(此 时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶), 按以上公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与 所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。,Page,59,2.分段建立弯矩方程,实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同 圆弧段用极坐
13、标方便,例: 弯曲刚度EI，求A点铅垂位移,分析步骤：,1.配置单位载荷状态,Page,60,解： AB段：,BC段：,Page,61,例：杆1，物理非线性 ，杆2，物理线性 ，已知杆横截面积均为A，求B,解：,原载荷状态下的内力方程,配置单位载荷状态,B,Page,62,作业 1315 1316 13-17(b) 13-18(a),Page,63,上一讲回顾,虚位移与虚功原理,外力在虚位移3上做的总功,可能内力在虚变形3上做的总功,2.将梁在F1，F2作用下的实际变形作为单位载荷下变形体的虚位移,同理,那么，该单位载荷在虚位移上的相应位移就是所求的45，外虚功为145 微段的虚变形（在F1、
14、F2作用下的实际变形，假设变形体弹性）为,（与单位外载荷相对应的）可能内力在虚变形上做的总功（内虚功）为,由虚功原理可得：,Page,64,根据对称性,例: 弯曲刚度EI，求C点挠度 和A点转角,真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯距正负，要按同一标准判断！,Page,65,根据对称性,解： （2）求 ，配置单位载荷状态,Page,66,解：,（1）求,例: 各杆EA，求AB杆转角 ， A、D点相对位移,Page,67,（2）求,解：,配置单位载荷系统,Page,68,分析步骤：弯扭组合,（1）建立F作用下的弯矩、扭矩方程,（2）配置单位载荷并建立单位载荷状态的弯距、扭矩方程,（3）求相对位移,例:
15、 图中 F=80N, =240MPa,E=200GPa,G=80GPaR=35mm,d=7mm, 忽略开口宽度求开口沿F 方向相对位移,Page,69,（1）求沿F 载荷作用下的内力方程,沿F 方向加一对单位力,Page,70,思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环形杆是一种什么样的变形状态？,Page,71,求解思路讨论：,A 点在与F 垂直方向位移,例: A点位移与F 方向相同，求角,Page,72,Page,73,例：已知EI，求A左、 A右,解：,(1) 求 A左，配置单位载荷,Page,74,(2) 求 A右,Page,75,作业 1328 1330,Page,76,Page,77,经典梁理论中，忽略了剪切对梁变形的影响；前一章在计算梁的应变能时，同样忽略了弯曲剪切变形的影响,13-6 梁的横向剪切变形效应,剪切对梁的变形究竟有多大的影响？,如何用能量法简捷并定量地加以评价？,Page,78, 梁的应变能密度表达式：,?,Page,79,一、考虑剪切效应时梁的应变能, 矩形截面梁,4,Page,80,矩形截面梁应变能,一般截面梁应变能公式（对称弯曲）,kS剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响截面切应力分布。 各种截面kS之值如下：,Page,81,二、计及剪切变形效应的梁位移公式,由卡氏定理,梁应变能,Page,
