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1、第五章 连续系统的S域分析,5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型,5.1拉普拉斯变换,一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换为,Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数
2、），f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。,二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。,解：,例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。,可见，对于因果信号，仅当 Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,解：,例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。,可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s),例3 双边信号求
3、其拉普拉斯变换。,求其拉普拉斯变换。,仅当时，其收敛域 为Res的一个带 状区域，如图所示。,解,例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。,结论：,1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：,2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛域不同； 不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然不同！,三、单边拉氏变换,通常遇到的信号都有初始时
4、刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为,称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Res ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。,四、常见函数的拉普拉斯变换,1、(t) 1，Re(S) -2、(t)或1 1/s , Re(S) 03、 (t) 1， Re(S) -4、 t(t) 1/s2 , Re(S) 0,解：,例5.15求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的象函数,若s0为实数，令s0，则有,若s0为实数，令s0j，则有,5.2拉氏变换的基本性质,拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。,1.
5、线性（Linearity ）：,若,当 与 无交集时，表明 不存在。,例.,2. 时移性质（Time Shifting）:,若,3. S域平移（Shifting in the s-Domain）:,表明 的ROC是将 的ROC平移了一个 。,例.,显然,4. 时域尺度变换（Time Scaling）:,若,则,当 时 收敛， 时 收敛,例.,求 的拉氏变换及ROC,可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。,特例,包括,5. 卷积性质:,显然有:,例.,ROC扩大,原因是 与 相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩
6、大。,6. 时域微分:（Differentiation in theTime Domain）,7. S域微分:（Differentiation in the s-Domain）,答案,8、时域积分特性（积分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 则,已知后者，也可推出前者,例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s),9、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数，,终值定理 若f(t)当t 时存在，并且f(t) F(s) , Res0,？,0,5.3 拉普拉斯逆变换,直接利用定义
7、式求反变换-复变函数积分。,比较困难,通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为,式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。
8、,特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2 = j),（1）F(s)为单极点（单根）,取逆变换，,若取,f1(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t)(t),求其逆变换,若取K1,2 =AjB,求其逆变换 解： 长除法 F (s),f1(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t)(t),解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1j1，故,例4： 求象函数F(s)的原函数f(t)。,（2）F(s)有重极点（重根）,若A(s) = 0在s = p1处有r重根，,举例:,5.4 复频域分析,复习：拉普拉斯变换的时域微分特性,则,一、微分方程
9、的变换解,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-) ,y(0-),，y(n-1) (0-)。取拉普拉斯变换,例1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)， 求系统的全响应y(t),解： 取拉氏变换得,五、拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系,例 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t),解,单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的定义,Res0,分析因果信号两种变换的关系,设Res0,(1) 00; 收敛域在虚轴右边，在s=j处不收敛，傅立叶变换不存在,这时有：,(1) 00; 收敛域包含虚轴，在s=j处收敛，傅立叶变换存在。,例如：,其傅立叶变换为,分析：因为00，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母多项式A(s)=0必有虚根。 设A(s)=0有N个虚根（单根）j1, j2, jn,将F(s)展开成部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令为Fa(s)。则有,(1) 00; 在虚轴上不收敛。,因为,如令L-1Fa(s)=fa(t),则上式的拉普拉斯变换为,所以，f(t)中第二项的傅立叶变换为,即,例如,第5章小结,5.1 拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的性质5.3 拉普拉斯逆变换5.4 复频域分析（系统函数）,
