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1、2018/8/22,第二章 时域离散信号和系统的频域分析,数字信号处理 Digital Signal Processing,福建农林大学金山学院信息与机电工程系 ( ),2018/8/22,2018/8/22,1、傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。2、傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、帕斯维尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。3、周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。4、Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。,学习要点：,2018/8/22,5、Z变换的定理和性质
2、：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、帕斯维尔定理。 6、系统的传输函数和系统函数的求解。 7、用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 8、零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。 9、用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。,学习要点：,2018/8/22,2.1 引言,信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法 和变换域分析方法。,连续系统：,时域分析,微分方程,傅利叶变换、拉氏变换,代数方程,离散系统：,时域分析,代数方程,傅利叶变换、Z变换,差分方程,2018/8/22,2.2 序列的傅利叶变换,2.2.1 序列的傅里叶变换的定义,众所周知，连续时间
3、信号f(t)的傅里叶变换定义为：,而F(j)的傅里叶反变换定义为,2018/8/22,离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT,X(ej)的傅里叶反变换定义为,2018/8/22,在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。X(ej)一般为复数，可用它的实部（Real）和虚部（Imaginary）表示为：,或用幅度和相位表示为：,2018/8/22,设x(n)=anu(n)，0a1,求x(n)的FT。,2018/8/22,离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：,(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。,(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值|X(ej)|在
4、02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。,2018/8/22,2.2.2 序列傅利叶变换的性质,2018/8/22,2018/8/22,2018/8/22,当=0时，它是常数序列；随着的增加，信号的震荡速率增加，直到=时，达到离散时间序列的最高振荡速率。当继续增加，其振荡速率反而下降，直到=2时，它又回到常数序列。,当等于2的整数倍时，虚指数序列为常数序列， 在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在等 于的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高 振荡频率，附近是高频序列。,2018/8/22,1. 傅利叶变换的周期性,角频率每改变2及其整数倍时都呈现同一个虚指数序列。因此在研
5、究虚指数序列时，只要在的某个2区间内考察即可。一般选这个区间为-,或02，并称为离散时间频率的主值区间。,数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，所以数字域频率并不是像模拟域频率越来越大。,数字域频率和模拟域频率的关系?,2018/8/22,当=0，2，4 点上表示x(n)的直流分量，离开这些点越远，其频率越高；当=(2M+1)时，代表最高频率信号（见前面的例子）。,M为整数,序列傅里叶变换是以2为周期的函数。,1. 傅利叶变换的周期性,2018/8/22,2. 序列的傅里叶变换的线性,3时移与频移,时间移位 = 频率相位偏移,2018/8/22,4时域卷积,该定理说明：在求线性时不变系
6、统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的FT，再作逆变换。,2018/8/22,5频域卷积定理,该定理适于时域截断信号后求频谱。,2018/8/22,6. 帕斯维尔(Parseval)定理,证明：,说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。,2018/8/22,7序列的傅里叶变换的对称性,共轭对称序列：,共轭反对称序列：,对于实序列来说，xe(n)为偶对称序列，xo(n)为奇对称序列。,时域序列的对称性,xe(n)=xer(n)+jxei(n),x*e(-n)=xer(-n) - jxei(-n),x,jy,2018/8/22,共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。,
7、同理，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。以上反之也成立。,xo(n)=xor(n) + jxoi(n),x*o(-n)=xor(-n) - jxoi(-n),例 试分析x(n)=e jn的对称性,解：,x(n)=cosn+j sinn,其实部是偶函数，而虚部是奇函数,是共轭 对称序列。,2018/8/22,对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：,可得：,2018/8/22,序列x(n)的傅里叶变换X(ej)可以被分解成共轭对称分量与共轭反对称分量两部分之和，即,同样有：,频域函数的对称性,若X(ej)是实函数：且满足共轭对称，则称为频率的偶函数；若满足共轭反对称，则
8、称为频率的奇函数。,2018/8/22,傅利叶变换的对称性,(a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n),将上式进行FT，得到：,2018/8/22,结论： 序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT 具有共轭对称性，虚部乘j一起对应的FT具有 共轭反对称性。,X(e j)=Xe(e j) + Xo(e j),2018/8/22,(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n)，即：,x(n)=xe(n)+xo(n),将上面两式分别进行FT，得到,2018/8/22,结论：序列的共轭对称部分xe(n)的傅利叶变换对应 着X(ej
9、)的实部XR(ej)，而序列的共轭反对 称部分xo(n)的傅利叶变换对应着X(ej)的虚 部XI(ej)乘以j 。,2018/8/22,8序列的折叠,9序列乘以n,10序列的复共轭,2018/8/22,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 P40,2018/8/22,求如下序列的傅里叶变换,1、 x1(n)=(n3),解,2、,2018/8/22,3、x3(n)=u(n+3)u(n4)， 求x(n)的FT,2018/8/22,或者:,2018/8/22,例：设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。 ,解：,xe(n)和xo(n)的
10、波形如图所示。,2018/8/22,练习： P71 5,解：,x(n),2018/8/22,x(n),2018/8/22,2.3 周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换表示,2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数,只有当序列x(n)绝对可和，即:,x(n)的傅里叶变换才存在（周期序列不满足条件）。,设,比较,2018/8/22,为了方便：,表明将周期序列分解成N次谐波,第k个谐波频率为k=(2/N)k，k=0, 1, 2 N-1，幅为 。 基波分量的频率是2/N，幅度是 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,也是一个以N为周期的周期序列，称为 的离 散傅里叶级数，用DFS(Discret
11、e Fourier Series)表示。,2018/8/22,例1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图所示的周期序列 ，周期为8，求 的DFS。 解： 按照DFS变换公式,幅度特性表明周期序的DFS : 与N有关； 在频域中是个离散的周期序列,j,2018/8/22,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示,在模拟系统中单一频率信号 ,其傅里叶 变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2.,时域离散系统中 的傅里叶形式与上式一样，是在=0处强度为2的单位冲激函数,在02r处的单位冲激函数,2018/8/22,的 FT,2018/8/22,对于一般周期序列 ，其离散
12、傅里叶级数为：对其进行傅里叶变换：如果让k在之间变化，上式可简化成：,奇异函数,其中：,2018/8/22,例2 求如图所示周期序列的FT。,2018/8/22,对于同一个周期信号，其DFS（幅度特性）和FT（幅频特性）分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线),它们都可以表示周期序列的频谱分布。,2018/8/22,例3 令 ，2/0为有理数，求其FT。 解： 欧拉公式展开表明:cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓。,2,2018/8/22,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系,模拟信号,时域离散信号
13、,提出问题：(1) 序列的傅里叶变换X(ej)与模拟信号的傅里叶变换Xa(j)之间有什么关系。(2) 数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系。,2018/8/22,利用采样定理,2018/8/22,对比下式：,推得结果：,结论:(1)离散信号可看作模拟信号的采样序列(2)数字域频率与模拟域频率呈线性关系： (3) 序列的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换的关系，与采样信号、模拟信号各傅立叶变换一样，都是 以周期 进行周期延拓。,2018/8/22,例 设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz，以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n)，求 xa(t
14、)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。,解：(1),Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数，强度为,2018/8/22,(2) 以fs=200 Hz 对xa(t)进行采样得到采样信号 ，根 据 与xa(t)的关系式：根据采样信号和模拟信号的FT之间的关系，可得到：,2018/8/22,将fs=200 Hz，f0=50 Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示：,(3) 由采样信号得到的序列x(n)，x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)，序列x(n)的FT，只要将=/T=fs代入：,2018/8/22,2.5 序列的Z变换,在模拟信号和系统中，用FT进行
15、频域分析，用拉普拉斯变换对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的FT进行频域分析，用Z变换进行复频域分析。,2.5.1 Z变换的定义,序列x(n)的Z变换定义为：注意：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式,2018/8/22,Z变换存在的条件：等号右边级数收敛，要求级数绝对可和， 即：使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。收敛域一般为环状域令：Z=rejw ，代入上式可得到：Rx-rRx+收敛域分别是以为Rx-和Rx+为半径的两个圆形成的环状域,2.5 序列的Z变换,2018/8/22,常用的Z变换是一个有理函数， 可用两个多项式之比表示收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的FT和ZT的定义式，可得到FT和ZT之间的关系：单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。根据已知序列的Z变换求序列的FT的条件是：收敛域中包含单位圆。,
