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1、第6章 信号与系统控制的频域分析法,6.1 频域分析法及其特点 6.2 连续信号与系统控制的频域分析 6.3 离散信号与系统控制的频域分析,6.1 频域分析法及其特点,6.1.1 什么是频域分析法 6.1.2 频域分析法的特点,6.1.1 什么是频域分析法,频域分析法（ 傅立叶 J.Fourier, 17681830 ）是一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、研究信号与系统控制的问题，包括“信号的频域（频谱）分析”和“系统控制的频域分析”两方面。“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将周期信号分解为一系列不同频率的正弦
2、信号（序列）或虚指数信号（序列）的叠加；将非周期信号分解为相应信号（序列）的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。“系统控制的频域分析”是一种图解法，可以渐近画出系统的频率特性曲线，具有简单、形象、快速的特点；不仅可以利用系统的开环频率特性（Bode图）去判断系统的闭环性能，而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响，确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确的物理意义，可以用实验方法测定；可以通过实验帮助解决数学建模问题。,6.1.2 频域分析法的特点,1）明确的物理意义信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成和能量的主要分布；系统控制
3、的频域分析，则明确了系统的基本滤波性能。2）图解与渐近逼近信号的“离散”或“连续”频谱，非常直观、明析；系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出，且容易修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。3）近似与间接研究根据信号频谱的主要能量分布，可以实现信号的离散取样与复现；根据系统控制的开环Bode图，可研究系统的闭环性能并绘制 Nichols图、得到系统的闭环特性曲线。4）可通过实验观测信号的频谱可以通过频谱分析仪观察、测试；系统或环节的频率特性则可以通过扫频仪进行观察和测试。5）局限于LTI系统频域分析法仅限于LTI系统的分析与研究；对于满足LTI条件的许多系统，都可以应用频域分析法进
4、行限于零状态响应的研究，但不能进行零输入响应与完全响应的研究。,6.2 连续信号与系统控制的频域分析,6.2.1 信号的正交分解 6.2.2 周期信号的傅立叶级数 6.2.3 周期信号的频谱 6.2.4 非周期信号的傅立叶变换 6.2.5 傅立叶变换的性质 6.2.6 周期信号的傅里叶变换 6.2.7 抽样定理 6.2.8 连续系统的频域分析 6.2.9 连续系统的频率特性与试验测定 6.2.10 Nyquist稳定判据与对数频率稳定判据 6.2.11 系统的三频段分析与闭环特性 6.2.12 系统频域指标与时域指标的关系,6.2.1 信号的正交分解,信号的分解与矢量的分解非常相似，本节将从矢
5、量的分解入手，通过类比的方法将连续信号分解为正交函数；即：用“完备正交函数集”中各正交函数的线性组合，来表示相应的连续信号。,6.2.2 周期信号的傅立叶级数,1） 三角形式的傅立叶级数,对于任何一个周期为 的周期信号 ，都可以用式（6.2-12）所示的三角函数集中各函数的线性组合来表示，即 （6.2-13） 式（6.2-13）中， 称为基波角频率， 和 则为加权系数。,由式（6.2-7）可得加权系数：,（6.2-14）,（6.2-15）,时，,，即,的直流分量为：,当,式（6.2-13）可写为：,式（6.2-16）表明：任一周期信号,谐波分量之和来表示。其中，,为直流分量，,为,量的振幅，,
6、为,振幅,、相位,与系数,和,所示，分别为：,图6.2-3,、,和,（6.2-16）,可用一直流分量和一系列,次谐波分,次谐波分量的相位。,的三角,关系可以用图6.2-3,） 函数的对称性与傅立叶系数的关系 偶对称 奇对称 奇谐对称 偶谐对称, 信号波形关于纵轴对称，有, 信号波形关于原点对称，有,信号沿 t 轴平移半个周期后与原波形,镜像，即,信号沿 t 轴平移半个周期后与原波形,满足,，在偶函数,的傅立叶级数展开式中，没有正弦项，只需求a 0 与a n 即可。,级数展开式只有正弦项，没有直流与余弦项，只需求b n 即可。,，其傅立叶,关于时间轴,其傅立叶级数展开式中，只有奇次,项，而没有直
7、流与偶次谐波项。,完全重叠，,，其傅立叶级数展开式中，没有奇次谐波，,只有直流及偶次正弦项与偶次余弦项。,4） 指数形式的傅立叶级数 指数形式的傅立叶级数,（6.2-19）, 指数形式与三角形式傅立叶级数的关系,3) 几点说明,6.2.3 周期信号的频谱,2,2,9,9,10,10,2,2）周期信号频谱的特点,13,13,13,14,14,4）周期信号的功率与有效值 周期信号是一种功率信号，周期信号的平均功率是有限的，而其能量则是无限的。有帕塞瓦尔等式 帕塞瓦尔等式（6.226）表明，周期信号的功率等于直流和各次谐波分量功率之和。 考虑 1电阻上的功率P与电压或电流有效值U、I的关系为 容易得
8、到： 与 。 即周期信号的有效值为各谐波分量有效值的平方和的平方根。,6.2.4 非周期信号的傅立叶变换,6.2.5 傅立叶变换的性质,6.2.6 周期信号的傅里叶变换,1）周期信号与非周期信号频域分析的统一由周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换的讨论，得出了周期信号的频谱为离散的振幅谱，而非周期信号的频谱是连续的密度谱的结论。 2） 周期信号的傅里叶变换,10,28,28,28,6.2.7 抽样定理,29,29,30,31,31,32,32,33,33,G(j),G(j),2. 信号的实际抽样(周期脉冲抽样),由式（6.283）可知，样值信号,的频谱函数,是信号,频谱,的周期性重复，
9、且重复周期为,，幅度为,的,倍；,在实际工作中，抽样序列只能采用周期性的矩形脉冲串来近似。可导出,（6.283）,4,图64.2-34 频域抽样原理,6.2.8 连续系统的频域分析,1) 频域分析法 系统的频域分析法则以虚指数信号 作为基本信号，对LTI系统进行分析。 系统的频域分析法如图6.2-35所示。利用时域分析中，LTI系统的零状态响应 可通过外作用 f (t) 与系统单位冲激响应 g(t) 的卷积来求取 （6.290）,G,g,根据傅里叶变换的时域卷积性质求式(6.290)的傅里叶变换 （6.291） 式(6.291)中，G(j)为该系统单位冲激响应 g(t)的傅里叶变换，通常称 G
10、(j)为系统传输函数，而且 。 对式(6.291)求傅里叶反变换，容易得到系统的零状态响应2）基本信号激励下的零状态响应 1）基本信号 激励下的零状态响应,-1,-1,乘上LTI系统的系统函数,(与时间无关)，就得到LTI系统在基本信号,激励下的零状态,正是LTI系统单位冲激响应,的傅里叶变换。,（6.294）,式(6.294)表明：基本信号,响应。,式(6.294)则是频域法的基础。,2） 一般信号f (t)激励下的零状态响应 3. 系统的无失真传输及其条件 1）失真的概念 如果信号通过系统传输后，输出波形发生了畸变，失去了系统传输的原信号波形的形状，就称之为失真；如果信号通过系统传输后，原
11、信号波形的形状保持不变，只产生时间的延迟或幅度的增减，则称为不失真，如图6.2-39所示。,由于信号,可分解为无穷多个基本信号,的线性组合，则LTI,可视为无穷多个基本信号,产生的零状态响应,的线性叠加，可导出,系统的,-1,由频域分析法求解系统零状态响应的步骤如图6.2-35所示。,（6.295）,具体求解过程，可参考例6.210例6.2 13,可以把系统的传输失真分为线性失真与非线性失真两大类。 线性失真：信号通过线性系统所产生的失真称为线性失真。 非线性失真：信号通过非线性系统所产生的失真称为非线性 失真。 失真的作用：在实际应用中，有时人们需要有意识地利用系 统的这种非线性失真实现波形
12、的变换、混频、检波等。,（2）无失真传输的条件 系统不失真传输的频域条件为 （6.2-97）,系统不失真传输的幅频与相频条件为,（6.2-98）,4）理想低通滤波器及其特性 在系统不失真传输信号的情况下，有时只让所需要的频率成分通过，而对不需要的频率成分予以抑制。具有这种频率选择功能的系统称为滤波器。滤波器有低通、高通、带通以及低阻、高阻、带阻之分。所谓理想滤波器，是指不允许通过的频率成分将的被抑制掉，一点也不能通过；而允许通过的频率成分，则让其 的通过。 （1）理想低通滤波器 具有图6.2-43所示幅频特性和相频特性的滤波器被称为理想低通滤波器。,（2）理想低通滤波器的特性 理想低通滤波器非
13、全通滤波器； 理想低通滤波器无法实现 ( )； 理想低通滤波器的近似实现，,理想低通滤波器的系统函数为,（6.2-99）,理想低通的单位冲激响应为：,理想低通的通带为 ，或称该滤波器的带宽为 。,单位冲激与理想低通的单位冲激响应曲线如图6.2-44所示。,竟在,之前就有了,是完全可能的。,6.2.9 连续系统的频率特性与实验测定,1）连续系统的频率特性（1）频率特性的概念 可以定义：线性系统在正弦输入作用下稳态响应的特性即系统的频率特性，包括幅频和相频特性两方面。 系统的频率特性表征了系统（或环节）在正弦输入作用下的稳态响应与输入信号角频率的关系，可记为（6.2-100） 式（6.2-100）
14、既包含了系统输出、输入的幅值比，又包含了系统输出、输入的相位差，称为系统的幅相频率特性表达式，简称幅相特性表达式。,例6.2-13 求图6.2-50所示RC电路的频率特性。解：由题，有 及 ， 消去中间变量 i 、令 T = R C ，并求拉氏变换，可得该电路的传递函数设输入为正弦电压 ，其拉氏变换为，可求得 由拉氏反变换，可得该电路 的稳态响应,当t 时,有,用幅相特性表达式表示，则有一般， 还可以用其实部与虚部之和来表示, 即：（6.2-102） 式（6.2-102）中，X () 称为系统的实频特性, Y () 则称为系统的虚频特性。 （2）系统频率特性与传递函数的关系,只要令传递函数G (s) 中的复变量 s 为纯虚变量 j , 即可 得到系统的频率特性：,
