第四章系统的频率特性分析

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1、应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。,引言,1. 为什么要对系统进行频域分析？ 时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处： 计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大； 对于高阶系统十分不便，难以确定解析解； 不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素； 不能直观地表现出系统的主要特征。,2. 频率响应、频率特性和频域分析法 频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成） 频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 数学

2、基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。 频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法。,引例RC电路对于图4-1所示的RC电路，其传递函数为式中，T=RC 。,图4-1 RC电路,4.1 频率特性,设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为所以有将其进行部分分式展开后再拉氏反变换,uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。显然上述RC电路的稳态响应为结论：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于。,若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数

3、表示，并求其复数比，可以得到 式中频率特性G(j)：上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比，且G(j) = G(s)|s=j 。 幅频特性A()：输出信号幅值与输入信号幅值之比。 相频特性()：输出信号相角与输入信号相角之差。,设系统的传递函数为,已知输入,其拉氏变换,则系统输出为,(4-1),G(s),的极点,(4-2),对稳定系统,待定系数,2. 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出,(4-2),趋向于零,是一个复数向量，因而可表示为,(4-7),(4-5),(4-6),(4-4),因此，系统的稳态响应为：,式中，稳态输出的振幅和相位分别为,由此可见，LTI系统在正弦输入下，输出的稳态值是

4、和输入同频率的正弦信号。输出振幅是输入振幅的|G(j)|倍，输出相位与输入相位相差G(j)度。,3. 频率特性的定义 幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，用A()表示。相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用()表示。幅频A()和相频 ()统称幅相频率特性。,频率特性与传递函数具有十分相似的形式,比较,几点说明,频率特性是传递函数的特例，是定义在复,平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与,系统的微分方程、传递函数一样反映了系,统的固有特性。,尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的,频率特性与传递函数一样包含了系统或元,部件的全部动态结构参数，因此，系统动,态过程的规律

5、性也全寓于其中。,应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。,频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；,()大于零时称为相角超前，小于零时称,为相角滞后。,（1）幅相频率特性曲线（极坐标图或奈奎斯特图）,对数频率特性曲线,对数幅频特性,相频特性,(),纵坐标均按线性分度,横坐标是角速率,按,分度,4. 频率特性的表示法,（2）对数频率特性曲

6、线（伯德图）,（3）对数幅相曲线（尼柯尔斯图）,横坐标：对数相频特性的相角 纵坐标：对数幅频特性的分贝数,可用幅值,和相角,的向量表示。,变化时，向量,的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为幅相频率特性曲线（简称幅相曲线或Nyquist曲线）。画有 Nyquist曲线的坐标图称为极坐标图或Nyquist图。,当输入信号的频率,在极坐标图上，以横轴为实轴，纵轴为虚轴，且正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的。,极坐标图(Polar plot)，又称幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。,4.2 极坐标图,将G(j)分为实部和虚部(代数表示)，即,U()和V()分

7、别称为实频特性和虚频特性。,取横坐标U() ，纵坐标表示V() ，也可得到系统的幅相曲线(实虚频图)。,奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性 。,例：,图5-25 极坐标图,但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响,采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。,4.2.1 典型环节的极坐标图,用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。 本节介绍六种常用的典型环节。,K,比例环节的极坐标图为实轴上的K点。,1 比例

8、环节,比例环节的奈氏图,4.2.1 典型环节的极坐标图,式中,实频特性；,相频特性；,幅频特性；,虚频特性；,积分环节的极坐标图为负虚轴。 频率从0特性曲线由虚轴的趋向原点。,积分环节的奈氏图,2 积分环节,微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：,频率特性分别为：,微分环节的频率特性,3 微分环节, 纯微分环节：,纯微分环节的奈氏图,纯微分环节的极坐标图为正虚轴。频率从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。,一阶微分环节的奈氏图,一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。, 一阶微分：,二阶微分环节的频率特性, 二阶微分

9、环节：,幅频和相频特性为：,实频和虚频特性为：,惯性环节的奈氏图,4 惯性环节,极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：,整理得：,下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。,实频、虚频、幅频和相频特性分别为：,振荡环节的频率特性,讨论 时的情况。频率特性为：,5 振荡环节,振荡环节的奈氏图,实际曲线还与阻尼系数有关。,当 时， ，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。,振荡环节的奈氏图,由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。,当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。,极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。随着频率的变化，沿单位圆转无穷多圈。,延迟环节

10、的奈氏图,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,6 延迟环节,小 结,比例环节的极坐标图积分环节的极坐标图微分环节的极坐标图有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。惯性环节的极坐标图振荡环节的极坐标图 延迟环节的极坐标图,一、控制系统开环传递函数的典型环节分解,设其开环传递函数由若干个典型环节相串联,其开环频率特性：,4.2.2 绘制乃氏图的一般规律,所以，系统的开环幅频和相频分别为：,开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积； 开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。,结论：,对于一般线性定常系统，传递函数为：,其对应的频率特性为：,当0时，称该系统为0 型系统；

11、 当1时，称该系统为型系统； 当2时，称该系统为型系统；,绘制Nyquist图 有时并不需要绘制得十分准确 只需要绘出Nyquist图的大致形状和几个关键点的准确位置（如与坐标轴的交点）就可以了。 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制概略幅相特性曲线的基础。,二、开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）,概略绘制乃氏图的步骤：,确定开环乃氏图的终点G(j),确定开环乃氏图的起点G(j0+),写出系统开环传递函数的频率特性,注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。,确定开环幅相曲线与实轴

12、的交点（若有）虚频为零或相频为n180 确定开环幅相曲线与虚轴的交点（若有）实频为零或相频为n90 勾画出开环幅相曲线 （0+）的大致曲线（越精确越好）,K,零型系统（=0）,例1,K,零型系统（=0）,例2,零型系统（=0）,例3,0型系统的乃氏图始于正实轴上的点，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于（nm）90。,n传递函数中分母的阶次 m传递函数中分子的阶次,型系统（=1）,例4,型系统（=1）,例5,型系统的乃氏图的渐近线在低频段与负虚轴平行，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于（nm）90。,n传递函数中分母的阶次 m传递函数中分子的阶次,型系统（=2）,例6例7,型系统

13、（=2）,例8,型系统的乃氏图在低频段趋于负实轴，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于（nm）90。,n传递函数中分母的阶次 m传递函数中分子的阶次,加极点和加零点的影响,加极点使相位滞后，加零点使相位超前。,区域内变化时绘出的乃氏图与,区域内变化时绘出的乃氏图相对实轴对称，故一般只考虑,区域内变化的乃氏图。,当传递函数中含有一阶微分环节时，相位非单调下降，乃氏图发生弯曲； 当传递函数中含有振荡环节时，上述结论不变。,注意：,绘制开环概略幅相曲线的规律,nm时终点趋向于原点,0时起始于原点,例4-1 已知系统的开环传递函数，绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。,Nyquist图

14、与实轴相交时,Matlab绘制的乃氏图,num=0 0 0 10; %定义分子多项式，s的降序排列 den=0.1 0.7 1 0; %定义分母多项式 nyquist(num,den),要精确地计算和绘制极坐标图，一般来说比较麻烦。因此采用频率特性的另一种图示法：对数坐标图（Bode 图）。它不但计算简单，绘图容易，而且一般能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统的影响。,Bode 图由两张图组成，即:,1、幅值与频率的关系:幅频特性曲线,2、相位与频率的关系：相频特性曲线,4.3 频率响应的对数坐标图,对数频率特性Bode图 在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形式，这种对数频率

15、特性曲线又称Bode图，由对数幅频特性和对数相频特性组成。 Bode图的横坐标按lg分度（10为底的常用对数），即对数分度，单位为弧度/秒（rad/s） 对数幅频曲线的纵坐标按 线性分度，单位是分贝（dB）。 对数相频曲线纵坐标按()线性分度，单位是度。 由此构成的坐标系称为半对数坐标系。,对数分度和线性分度,图5-1 对数分度和线性分度,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：,注意：,横坐标以频率的对数值 进行分度，但坐标上显示的数值仍然是原来 值。, =0不可能在横坐标上表示出来。,使用对数坐标图的优点：,可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。,令T=1，则用MATLAB画出上述RC电路的伯德图如图所示。,num=0 1;,den=1 1;,bode(num,den),幅频特性：,对数幅频特性和相频特性：,比例环节的bode图,