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1、第二章时域离散信号与系统的频域分析,学习目标,掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法 会运用任意方法求z反变换 理解z变换的主要性质 理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域,时域分析方法 变换域分析方法：连续时间信号与系统Laplace变换Fourier变换离散时间信号与系统z变换Fourier变换,2.1序列的Fourier变换及其对称性质,序列的Fourier变换和反变换：,则其Fourier变换 存在且连续，是序列的z变换在单位圆上的
2、值：,若序列x(n)绝对可和，即,若序列的Fourier变换 存在且连续，且是其z变换在单位圆上的值，则序列 x(n)一定绝对可和，将 展成Fourier级数，其系数即为x(n)：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,序列的Fourier变换的对称性质,定义：共轭对称序列：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,其中：,对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数虚部是的奇函数,幅度是的偶函数幅角是的奇函数,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,1、z
3、变换的定义序列x(n)的z变换定义为：,二、z变换的定义及收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,2、z变换的收敛域与零极点,1）有限长序列,2）右边序列,的右边序列， Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛 在 处收敛的z变换，其序列必为因果序列,因果序列,3）左边序列,4）双边序列,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内
4、,三、序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系,序列的z变换：,连续时间信号的Laplace变换：,连续时间信号的Fourier变换：,其Laplace变换：,1、序列的z变换&理想取样信号的Laplace变换,理想取样信号：,其z变换：,比较理想取样信号的Laplace变换：,得：,z平面： （极坐标）,取样序列的z变换=理想取样信号的Laplace变换,:,:,:,:,s平面到z平面的 映射是多值映射。,Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。,即: s=j,映射到z平面为单位圆,2、序列的z变换&理想取样信号的Fourier变换,取样序列在单
5、位圆上的z变换=其理想取样信号的Fourier变换,序列的Fourier变换 单位圆上序列的z变换,四、z逆变换,实质：求X(z)幂级数展开式Z逆变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法幂级数展开法（长除法）,Z逆变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,1、围线积分法（留数法）,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次
6、比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,留数的计算公式,单阶极点的留数：,思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：,对各部分分式求z逆变换：,2、部分分式展开法,级数的系数就是序列x(n),把X(z)展开成幂级数,3、幂级数展开法（长除法）,根据收敛域判断x(n)的性质，再展开成相应的z的幂级数。当X(z)的收敛域 时，则x(n)为因果序列， 将X(z)展成z的负幂级数，将X(z)分子分母按z的降幂排列；收敛域为 时，则x(n)为左边序列，将X(z)展成z的正幂级数，将X(z)分子分母按z的升幂排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除
7、法展成z的负幂级数,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式,五、z变换的基本性质与定理,1、线性 若,则,则,2、序列的移位,若,则,证：,3、乘以指数序列,若,则,同理：,4、序列的线性加权（z域求导数）,若,若,则,证：,5、共轭序列,则,6、翻褶序列,若,7、初值定理,证：因为x(n)为因果序列,设x(n)为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：,8、终值定理,则,9、有限项累加特性,
8、设x(n)为因果序列，即x(n)=0，n幅度； 数字频域； 起始相位,而,一、系统的频率响应,根据线性非时变系统的性质，当输入是复指数序列时，其稳态输出仍是同类型的指数序列，其频率与输入频率相同，其幅度和相位取决于系统。即,而,得,这里,称为离散时间系统的频率响应，它是由系统的结构参数决定的。,振幅特性,相位特性,群延时,二、系统频率响应的两个性质,是 的连续函数,是 的周期函数，且周期为,1.,2.,设,则,对于,有,所以,离散时间线性非时变系统的频率响应 就是系统的单位取样响应 的傅氏变换，是 的频谱。,三、系统频率响应与单位取样响应的关系,四、序列的频域表示法,傅氏级数展开,五、输出序列与输入序列的傅氏变换间的关系,因而,输出序列的傅氏变换等于输入序列傅氏变换与系统频率响应的乘积。,
