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1、,我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。,第三章 解线性方程组的迭代法,3.1 迭代法的基本思想迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值 ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。,设 非奇异， ，则线性方程组 有惟一解 ，经过变换构造出一个等价同解方程组 将上式改写成迭
2、代式,选定初始向量 ,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法,如果 存在极限 则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。 收敛时，在迭代公式中当 时， , 则 , 故 是方程组 的解。 对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。 并非全部收敛,例1 用迭代法求解线性方程组,解 构造方程组的等价方程组,据此建立迭代公式,取 计算得,迭代解离精确解 越来越远 迭代不收敛,3.2 雅可比（Jacobi）迭代法 3.2.1雅可比迭代法算法构造,例2 用雅可比迭代法求解方程组,解：从方程组的三个方程中分离出 和,建立迭代公式,精确解x*= (3, 2, 1)T,取初始
3、向量 进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列：（k=1, 2, ） 直到求得的近似解能达到预先要求的精度， 则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线 性方程组的解。当迭代到第10次有计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精 确解x*= (3, 2, 1)T。,考察一般的方程组，将n元线性方程组,写成,若 ,分离出变量,据此建立迭代公式,上式称为解方程组的Jacobi迭代公式。,3.2.2 雅可比迭代法的矩阵表示 设方程组 的系数矩阵A非奇异，且主对 角元素 ，则可将A分裂成,记作 A = D + L + U,则 等价于,即,因为 ，则,这样便得到一个迭代公式,令,则有,（k = 0,1,2）
4、,称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵,雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即,(k=0,1,2,),3.2.1 雅可比迭代法的算法实现, 3.3 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 3.3.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在求 时用新分量 代替旧分量 , 就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为：,(i=1,2,n k=0,1,2,),例3 用GaussSeidel 迭代格式解方程组,精确要求为=0.005,解 GaussSeid
5、el 迭代格式为,取初始迭代向量 ,迭代结果为：,x* , 3.3.2 GaussSeidel 迭代法的矩阵表示将A分裂成A =D+L+U，则 等价于 (D+L+U )x = b 于是,则高斯塞德尔迭代过程,因为 ,所以,则高斯-塞德尔迭代形式为：,故,令, 3.3.3 高斯塞德尔迭代算法实现高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图与雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元 的某个新值 后, 就改用新值 替代老值 ，再进行这一步剩下的计算。, 3.4 超松弛迭代法（SOR方法）使用迭代法的困难在于难以估计其计算 量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此
6、，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。, 3.4.1超松弛迭代法的基本思想超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速度，在高斯塞德尔迭代公式的基础上作一些修改。这种方法是将前一步的结果 与高斯-塞德尔迭代方法的迭代值 适当加权平均，期望获得更好的近似值 。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，有着广泛的应用。其具体计算公式如下：, 用高斯塞德尔迭代法定义辅助量。, 把 取为 与 的加权平均，即,合并表示为：,式中系数称为松弛因
7、子，当=1时，便为高斯-塞德尔迭代法。为了保证迭代过程收敛，要求0 2。 当0 1时，低松弛法；当1 2时称为超松弛法。但通常统称为超松弛法(SOR)。, 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角元素 , 则将A分裂成A=d+L+U, 则超松弛迭代公式用矩阵表示为,或,故,显然对任何一个值,(D+L)非奇异, (因为假设)于是超松弛迭代公式为,令,则超松弛迭代 公式可写成,例4 用SOR法求解线性方程组,取=1.46，要求,解：SOR迭代公式,k = 0,1,2,，,初值,该方程组的精确解 只需迭代20次便可达到精度要求,如果取=1(即高斯塞德尔迭
8、代法)和同一初 值 ,要达到同样精度, 需要迭代110次, 3.5 迭代法的收敛性我们知道, 对于给定的方程组可以构造成简单迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收敛。现在分析它们的收敛性。对于方程组 经过等价变换构造出的等价方程组,在什么条件下迭代序列 收敛？先引入 如下定理,基本定理5 迭代公式 收敛 的充分必要条件是迭代矩阵G的谱半径 证:必要性 设迭代公式收敛,当k时, 则在迭代公式两端同时取极限得 记 ,则 收敛于0(零向量),且有,于是,由于 可以是任意向量,故 收敛于0当且仅 当 收敛于零矩阵，即当 时,于是,所以必有,充分性: 设 , 则必存
9、在正数, 使 则存在某种范数 , 使 , ,则 , 所以 , 即 。故 收敛于 0, 收敛于 由此定理可知，不论是雅可比迭代法、高斯 塞德尔迭代法还是超松弛迭代法，它们收敛的 充要条件是其迭代矩阵的谱半径 。,事实上, 在例1中, 迭代矩阵G= ， 其特征多项式为 ,特征值为 -2，-3， , 所以迭代发散,定理6 (迭代法收敛的充分条件) 若迭代矩阵G的一种范数 ,则迭代公式收敛,且有误差估计式,且有误差估计式,及,证: 矩阵的谱半径不超过矩阵的任一种范数,已知 ,因此 ,根据定理4.9可知迭代公式收敛,又因为 , 则det (I-G )0, I-G为非奇异矩阵, 故xGxd有惟一解 , 即
10、 与迭代过程 相比较, 有两边取范数,由迭代格式，有,两边取范数，代入上式，得,证毕,由定理知，当 时，其值越小，迭代收敛越快，在程序设计中通常用相邻两次迭代（为给定的精度要求）作为 控制迭代结束的条件,例5 已知线性方程组,考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解时的收敛性 解: 雅可比迭代矩阵,故Jacobi迭代收敛, 将系数矩阵分解,则高斯-塞德尔迭代矩阵,故高斯塞德尔迭代收敛。,定义3.2 设矩阵 每一行对角元素的绝对值都大于同行其他元素绝对值之和,则称A为弱对角占优矩阵。若上式中不等号均严格成立，则称A为严格对角占优矩阵。,定理8 设n阶方阵 为严格对角占优阵, 则A非奇异。,定理9
11、若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。,例 6 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中,解： 先计算迭代矩阵,求特征值,雅可比矩阵, ( B ) = 0 1 用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散,高斯-塞德尔迭代矩阵,求特征值,当时a1时,Jacobi矩阵GJ1,对初值x(0)均收敛,例7 设 方程组 写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵并讨论迭代收敛的条件。 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵,并讨论迭代收敛的条件。 解 Jacobi迭代公式和Jaco
12、bi矩阵分别为,例 7设 方程组 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，并讨论迭代收敛的条件。 解 Gauss-Seidel矩阵为,当时a1时, Gauss-Seidel矩阵 Gs1, 所以对任意初值x(0)均收敛。,也可用矩阵的谱半径p(GS)1来讨论,解： 先计算迭代矩阵,例8 讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组Ax=b的收敛性。,求特征值,雅可比矩阵, ( B ) = 1 用雅可比迭代法求解时，迭代过程不收敛,1 = - 1， 2,3 = 1/2,求特征值,高斯-塞德尔迭代矩阵, (G1) = 0.3536 1 用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程收敛,1=0,求解AX=b,当取何值时迭代收敛？ 解:所给迭代公式的迭代矩阵为,例9 给定线性方程组 AX= b用迭代公式X(K+1)=X(K)+(b-AX(K) (k=0,1,）,即 2-(2-5 )+1- 5 +4 2=02-(2-5 )+(1- )(1-4)=0 -(1-)- (1-4)=01=1- 2=1-4,(B)=max|1- |, |1-4|1,取0 1/2迭代收敛,
