2 运动方程的建立

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1、2 运动方程的建立,2.1 利用dAlembert 原理的直接平衡法 2.2 动力学普遍定律 2.3 哈密顿（Hamilton）原理 2.4 Lagrange 运动方程 2.5 约束与Lagrange乘子法 2.6 假想振型法 2.7 广义体系特性的表达式,2.1 利用dAlembert 原理的直接平衡法,dAlembert 原理：任何质量m的动量变化率等于作用在这个质量上的力。,其中p(t)作用力矢量，u为质量m的位置矢量。对绝大多数结构动力学问题，可以认为质量是不随时间变化的。,（2.1）,（2.2）,（2.3）,质量产生的惯性力，也叫dAlembert力，与它的加速度成正比，但方向相反。

2、这个概念称为dAlembert 原理。 因此，本节实际为考虑惯性力的直接平衡法。,作用在结构上的力有哪些呢？,单层厂房受侧向力 作用下，发生侧位移。立柱中会产生与 平衡的水平剪力 。若逐渐缓慢地撤掉 ，则立柱与横梁逐渐回到平衡位置。说明结构有恢复平衡的能力，即存在弹性恢复力。若侧移较小，两个立柱在弹性范围内，弹性恢复力与侧移成正比。,（2.4）,抗侧移刚度,单层厂房初始发生侧移，突然撤掉作用力，横梁会围绕平衡位置来回振荡。这种振荡会永远持续下去吗？显然不会，为什么？因为结构系统中存在能量消耗。,在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素,1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；,2

3、）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；辐射阻尼。,3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。,把结构中的这种能量消耗与某种力学元器件（阻尼器）的能量消耗等效，则可以用阻尼器表示这种作用。,度量这种能量消耗却异常困难。,粘滞阻尼理论,（2.5）,粘滞阻尼力,振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：,*粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比,*滞变阻尼理论滞变阻尼可定义为一种与速度同相而与 位移成比例的在阻尼力。,阻尼力其他公式：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：1

4、）与质点速度成正比（常用，称为粘滞阻尼）。2）与质点速度平方成正比（如在流体中运动受到的阻力）3）与质点速度无关（如摩擦力）。,在结构动力学上，左右等效的条件是参数合理选取。,阻尼系数为c的阻尼器与原结构耗能等效,这样，单层厂房结构就可以采用质量、弹簧、阻尼器系统等效,c,下面采用利用dAlembert 原理的直接平衡法，研究质量、弹簧、阻尼器系统的运动方程。,解：（1）以小车（质量）的水平位移 为基本未知量,在动荷载 的作用下，小车会发生水平运动。,（2）分析小车水平方向的受力，有,作用在小车上的力有： 外力 弹性恢复力 阻尼力 惯性力,（3）列小车水平向平衡方程,这就是单层厂房水平侧移的运

5、动方程。,也是所有单自由度结构体系的运动方程。,（2.6）,惯性力的计算,（1）平面内质量为m的质点,（2）平面内质量为m,边长分别为a、b的均布质量块,（3）平面内质量为m,半径为r的均布质量圆盘,惯性力计算的另一种方法直接积分法：质量是分布的；加速度在质量各处均不一样，但可以采用函数表达，则可对惯性力直接积分得到。,一平板单位面积质量密度为 ，上边作用着一均布荷载p(t)，左上角用一弹簧系数 k 的水平弹簧拉着，左下角为一固定角支座，下边的中央和右下角安置了两个阻尼系数为c的阻尼器，水平长度为a，竖直长度为b。假定平板的运动为小变形，建立平板的运动方程。,例2.1,解:（1）选定平板右下角

6、向下位移为基本未知量u(t)（2）对平板进行受力分析，如图所示。,（3）列平衡方程 对o点取矩，列力矩平衡方程，有,整理，得,简写为,作业1：图示体系为质量均匀分布的刚性平板,其质量密度为 ，试建立运动方程。已知弹簧4k的顶点J作竖向运动Z(t)。,实际结构采用考虑惯性力的直接平衡法建立运动方程,在质量凝聚方案选定后，主要是弹簧系数问题,柔度法,列位移方程,柔度系数,柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。,刚度法,刚度系数,刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性

7、力。,列动力平衡方程,例1.,例2.,例3.,=,简记为,位移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,图示为三种不同支承情况的单跨梁，EI常数，梁的质量m凝聚在梁的中点。,作业2,不考虑结构阻尼，建立三种不同支承单跨梁的运动方程。,受理想约束的系统，在运动的任何瞬时，主动力与惯性力在虚位移上的元功之和为零。 理想约束：如果系统的约束反力所做的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。如光滑面约束，光滑铰链约束等在运动过程中不消耗能量的约束。 主动力：非惯性力。 动力学普遍定律：考虑惯性力的虚位移原理。,2.2 动力学普遍定律,系统为所有约束所允许的无穷小位移。 三个特点：约束允许，即满足边界条件；无穷

8、小，但不为零，可以不考虑系统形状的改变；虚设的，大小与方向是任意的。,2.2.1 虚位移,实位移是在一定的力作用下和一定初始条件下运动而实际发生的；虚位移则是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有明确的方向，可能是微小值，也可能是有限值。虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 在定常约束条件下，微小的实位移必然是虚位移之一。这是因为只有约束所允许的位移才是实际可能发生的位移。 定常约束是指不随时间变化的约束。,虚位移要满足约束条件，因此系统内的虚位移之间存在一定关系。如何寻找这种关系是虚位移原理应用的前提。 （a）几何法 在微小变形的理论前提下，结构位移不改变其形状。在确定虚位

9、移之间关系时，可不考虑结构的形状改变，运用几何学或运动学来求各点虚位移之间的关系。（b）解析法 广义坐标：与约束条件协调，并足以标定系统在空间中最小的独立物理量。 广义坐标的数目=系统的自由度数。,2.2.2 虚位移的表示方法,如一系统的个广义坐标为 、 、 、 ，则系统中任意质点的物理量（如位移量等）均可用个广义坐标表示。如质点的矢径可表示为,式中 n 为质点数，k为广义坐标数,质点i的虚位移为,式中 为变分符号,变分,当 有无穷小增量 时， 相应的增量 称为函数的微分，并有,其中， 为函数 关于时间 的一阶导数。,现在给函数 的形式一个微小的改变，即改变为,其中 为一无穷小量； 为 的任意

10、函数，由于函数 的这一改变， 将改变为,设有一个以t为基本变量的函数,对应于这一改变，当,有一确定值时，,有一个增量，设以,表示，则,称为函数的等时变分，简称变分。这就是说，当基本变量不变时，由于函数本身形式的变化所引起的函数的任意改变量称为函数的变分。,变分与微分示意图,变分与微分在概念上虽然不同，其计算方法却是一样的，但在计算变分时，基本变量是保持不变的。下面介绍关于变分运算的两个规则 （1） 由于微分变分的运算彼此无关，可以得到如下得关系式,证明如下。由变分的定义有,而根据导数的定义,上式表明：变分与微分运算次序是可以互换的。（2）同理，变分与积分得运算次序也可以互换。,由此，得,确定双

11、摆各点直角坐标系下的虚位移。,各点的直角坐标用广义坐标表示。,若广义坐标,、,的变分为,、,例2.2,解：由虚功原理,将下式代入,得，,例2.3,作业3,2.3 哈密顿（Hamilton）原理,建立结构动力方程，我们已经讲过利用达朗贝尔原理的直接平衡法和利用虚位移原理的动力学普遍定律。 第一个方法直接建立矢量平衡方程式， 第二个方法虽然功是标量，但用来计算功的力和位移却是矢量。应用矢量不方便之处就是确定方向。 有没有利用标量建立结构动力方程的方法。 有！这就是哈密顿原理。,设有一部分空间（有限大或无限大），当质点占据其中一定的位置时，就受到一个力的作用，而这个力的大小和方向单一地决定于质点的位

12、置，则这部分空间称为力场。 如果质点在力场中运动，力场对质点作用力的功，仅与质点的起止位置有关，与路径无关，该力场称为势力场或保守力场。如引力场、重力场、弹簧极限范围内的弹性力场都是势力场。 质点经过任一封闭曲线回到起点，有势力所做的功恒等于零。,质点在势力场中所受的力称为有势力或保守力。,非有势力称为非保守力。摩擦力、阻尼力为非保守力。一般情况下外力也是非保守力。,2.3.1 保守力场（势力场）,式中：,体系的总动能，,体系的总势能，包括应变能及任何保守外力的势能，,作用在体系上的非保守力（包括阻尼力和任意外荷）所作的功。,在指定时间内所取的变分。,2.3.2 哈密顿原理,利用哈密顿原理建立

13、弹簧阻尼质量块系统的动力方程。,势能：,非保守力：外荷载,、阻尼力,非保守力作功,代入哈密顿原理中，,动能：,例题 2.4,=,这就是哈密顿原理成立的基本条件，即端点不变分。,2.4 Lagrange 运动方程,只要用一组广义坐标,、,、,来表示总动能、总势能和总保守力的虚功，就可以从动力学的变分积分原理（哈密顿原理）中，直接推导出N个自由度体系的运动方程。大多数结构体系的动能可以用广义坐标和它们的一阶导数表示。势能则可以单独用广义坐标表示。此外，非保守力在广义坐标的一组任意变分所引起的虚位移上所做的虚功可以表示为这些变分的线性函数，也就是非保守力作功可以用广义坐标变分的线性组合来表示。即,这

14、里系数,分别是对应于广义坐标,、,、,的广义力函数。,代入哈密顿原理的方程中,将动能、势能、非保守力作功的变分代入,对速度项进行分步积分,由于端点不变分，即,这就是Lagrange 运动方程。,一般来说，势能与广义速度,无关，记,有,在许多系统中，不含非保守力，实际上是保守系统，则,Lagrange 方程对推导系统的运动方程非常有效，特别是自由度较多时。所有的运动微分方程都是从两个标量函数和与非保守力有关的虚功得到。这些方程适应于线性系统和非线性系统。 Lagrange方法的主要优点是避免了约束力的求解。,Example 2.5 建立下列系统的运动方程。 解：,（1）选定基本未知量,（2）系统

15、的动能,势能,动能,（3）非保守力作功,（4）代入Lagrange 方程式,其中,广义力在广义坐标变分上作功。本例题中广义坐标是,非保守力作功为,、,其变分是,。非保守力作功式中对应广义坐标变分,将上述表达式代入拉格朗日运动方程，整理得,代入上式，并略去高阶量，整理得,重力的作用只改变平衡位置，不起恢复力作用，则在动力学求解中，可不考虑重力作用。 结构动力学可只计算动力部分位移和内力。 计算完成后再与静力部分叠加。进行结构强度设计等。,重力问题,2.5 约束与Lagrange乘子法,通常确定一个N个自由度体系的动力反应时，,、 、,但有时为了要保持运动方程得对称性，宁可取一组,的坐标,、,用一组广义坐标,写出其运动方程。,为坐标，当然还需要增加两个约束方程。,假设把一般情况中的m个约束方程表示成,的形式。则其变分为,在时间间隔,到,然后在哈密顿变分方程中,上积分，,加上前面的积分，得到,由于变分,上式中每一个大括号内的项必然等于零，即,是完全任意的，,这就是Lagrange方程的修正形式,它允许采用坐标,、,、,初看起来建立上式的这种方法似乎意义不大，因为在哈密顿方程中加上了一些等于零的积分项；然而应当指出的是当每一个,