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1、1,第 十五 章 虚位移原理,分析力学篇,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,约束及其分类,约束,第 十五章 虚位移原理,限制质点或质点系运动的条件,约束方程,表示约束限制条件的数学方程,平面单摆,曲柄连杆机构,例如：,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,约束及其分类,几何约束和运动约束,几何约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件,运动约束,几何约束： 运动约束：,例如：,第 十五章 虚位移原理,约束及其分类,定常约束和非定常约束,定常约束,约束条件不随时间变化,非定常约束,约束条件随时间变化,定常约束,平面单摆,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,约
2、束及其分类,定常约束和非定常约束,定常约束,约束条件不随时间变化,非定常约束,约束条件随时间变化,非定常约束,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,约束及其分类,完整约束和非完整约束,完整约束,非完整约束,几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。,完整约束方程的一般形式：fj(x1, y1, z1, xn, yn, zn; t )=0,非完整约束方程只能以微分形式表达。,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,完整约束,约束及其分类,完整约束和非完整约束,15-1 约束 广义坐标
3、 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,8,非完整约束,约束及其分类,完整约束和非完整约束,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,约束及其分类,单面约束和双面约束,单面约束,双面约束,单面约束,例如：,双面约束,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,10,单面约束,双面约束,约束及其分类,单面约束和双面约束,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,约束及其分类,质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为,（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第
4、 十五章 虚位移原理,自由度和广义坐标,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,自由度,定义：确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度，用N 表示。,确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y，z），确定n 个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束方程 z=0）。,确定质点系位置 的独立坐标数 约束方程,4 zA=0， zB=0,3 除前述外，还有：（xB-xA）2+（yB-yA）2=l2,1 除前述外，还有：xA2+ yA2=a2 (xB
5、 c)2+ yB2=b2,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,14,由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐标就减少一个。,一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束，其独立坐标数为N=3n-s 。只要给定N个坐标，质点系的位置就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此：,对空间：N=3n-s n质点数 对平面： N=2n-s s约束方程数,自由度和广义坐标,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,自由度,15,广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y,
6、 z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目=自由度数目。,定义：确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。,例如双锤摆用两个广义坐标 、表示。,自由度和广义坐标,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,广义坐标,16,例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：,广义坐标函数：广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。,自由度和广义坐标,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,广义坐标,17,例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。,两个自由度 取广义坐标，,自由度和广义
7、坐标,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,广义坐标,18,一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有N个自由度，取q1、q2、qN为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。,自由度和广义坐标,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,广义坐标,19,在某瞬时，质点或质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移，称为虚位移。,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。,一般地，若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹相切。,虚位移,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理
8、,20,虚位移与真正运动时发生的实位移区别实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静止时没有实位移但有虚位移。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。,在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,21,虚位移与实位移,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,虚位移,22
9、,虚位移与实位移,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,虚位移,23,质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法：,几何法（运动学法）在定常约束下微小实位移是虚位移中的一个。由运动学知，质点的位移与速度成正比，因此可以用运动学中分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。,各点虚位移之间的关系,虚位移,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,24, 解析法质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,qN），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为,各点虚位移之间的关系,虚位移,1
10、5-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,25,分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知 OC=BC= a， OA=l ),解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。,1、几何法,注意：几何法要在图上标出各点虚位移！,给OA杆一虚位移，则,例 题 15-1, 例题第十四章 虚位移原理,26,取为广义坐标，将点的坐标表示成的函数，得,2、解析法 (OC=BC= a， OA=l ),对 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：,注意：解析法要用固定坐标！,例 题 15-1, 例题第十四章 虚位移原理,27,虚功,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚
11、功,第 十五章 虚位移原理,力在虚位移中所作的功，称为虚功，记为W。,在静止平衡状态的机构中，任何力都没作实功，但力可以作虚功。,28,理想约束,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，则称这种约束为理想约束。,29,理想约束的典型例子：,2、光滑铰链,1、光滑支承面,理想约束,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,3、刚体在粗糙面上的纯滚动,4、无重刚杆,5、不可伸长的柔索,理想约束的典型例子：,15-1 约束 广义坐标 虚位移 虚功,第 十五章 虚位移原理,15-2 虚位移原理,虚位
12、移原理,第 十五章 虚位移原理,对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。,即,解析表达式：,虚位移原理又称虚功原理,32,证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有,质点系处于平衡 任一质点Mi也平衡。,对质点Mi 的任一虚位移 ，有,由于是理想约束,所以,对整个质点系：,虚位移原理证明,15-2 虚位移原理,第 十五章 虚位移原理,33,(2) 充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。若 ，假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设为第i个质点）不平衡，则有,在 方向上产生实位移 ，取 ，则,与前述条件矛盾,故 时质点系必
13、处于平衡。,虚位移原理证明,15-2 虚位移原理,第 十五章 虚位移原理,34,系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 求平衡构架内二力杆的内力。,虚位移原理应用,15-2 虚位移原理,第 十五章 虚位移原理,平衡平衡位形,主动力平衡力系的一部分,35,曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度和。不计机构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。,例 题 15-2, 例题第十五章 虚位移原理,36,例 题 15-2, 例题第十五章 虚位移原理,37,解：,以rA 和rB 分别代表主动力
14、FA 和 FB 作用点的虚位移，如图所示。,可见 A，B 两点的虚位移大小之比等于,根据虚位移原理的平衡方程，有,从而解得,O,A,B,r,FA,FB,因 AB 是刚杆，两端位移在 AB 上的投影应相等，即,例 题 15-2, 例题第十五章 虚位移原理,38,例 题 15-2, 例题第十五章 虚位移原理,39,已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束反力FBx。,例 题 15-3, 例题第十五章 虚位移原理,40,例 题 15-3, 例题第十五章 虚位移原理,41,此题可用虚位移原理来求解。用约束力FBx代替水平约束，并将FBx当作主动力。,其变分为,因坐标,设B，G二点沿x，y的虚位移为xB和yG ，根据虚位移原理，有,(b),解：,代入式（a），得,A,B,C,D,E,G,F,x,FBx,
