《P-4.3 近自由电子近似-36》由会员分享，可在线阅读，更多相关《P-4.3 近自由电子近似-36（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上周讲到： 为了得到清晰确切的结果，我们就必须对一个感兴趣的、特定固体的实际势能V(r) 去求解单电子的Schrdinger方程，然而即使是比较简单的势，其Schrdinger方程的求解过程也是一项数学推导极其繁琐的工作，为了得到能与实验对照的结果，这样做当然是非常必要的。但如果只是为了更好地进一步理解周期性势场对电子运动的影响，我们最好是选择使用经过简化的势，用最少量的数学过程来求解Schrdinger方程，以便专心地理解相关的物理问题。,BornOppenheimer 绝热近似： HatreeFock 平均场近似（单电子近似） 周期场近似(Periodic potential approx
2、imation)： 复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，单电子薛定谔方程为：,其中：,全电子势（Muffin-tin） 赝势 凝胶模型（自由电子气的背景）非周期性 周期性 对称性,平面波 缀加平面波 线性组合缀加平面波 散射函数 原子轨道线性组合 数值,能带计算方法的理解（部分）,严格的平面波方法,根据布洛赫定理，周期势场中单电子波函数是一个调幅平面 = 1 波函数按倒格矢展开，可写为 = 1 + + 这是平面波的线性组合自由电子的本征解的线性组合 为了求解待定系数 + ，将波函数带入波动方程 2 2 2 + = k 可得： 2 2 + 2 + + + =0 由方程组系数行列式为零的条件，
3、可得到确定能量本征值 的方程det 2 2 + 2 + + =0 原则上这是个阶行列式，实际计算时只能取有限阶行列式,4.3 近自由电子近似,波动方程 2 2 2 + = k , = +, 为平均势，通常取为0；为相对于平均势的起伏,近自由电子近似（Nearly Free Electron ）在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。（也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。,零级近似,取
4、=0，即均匀势场的情况，电子是完全自由的，波函数和能量本征值是 0 = 1 0 = 2 2 2 应用玻恩-冯卡门边界条件 0 = 0 + ，得到 =2 , =1,2,3 可取波矢 = 1 + 2 2 2 + 3 3 3 1 , 2 , 3 为倒格矢,零级近似,于是 只能取分立值，每一个 在动量空间中所占的体积 1 1 2 2 3 3 = 1 2 3 = 2 3 由于是一个大数， 在动量空间准连续，均匀分布，其密度为 2 3 证明波函数满足正交归一条件 0 0 = , 0 0 = ,非简并微扰（试）,将波函数改写为 = 1 + 1 0 + ( + ) (4.2.13) 2 2 + 2 + + +
5、 =0 设是小量，则除了 1，其他( + )都是小量 因为所有 都是小量，在确定待定系数的方程中，仅保留一级小量，并用 0 = 2 2 2 代替 2 2 + 2 2 2 2 + + =0 由此求得 + = 2 2 2 + 2, = 1 + + ,非简并微扰,一级近似波函数 = 1 + 0 2 2 2 + 2 ( + ) = 1 其中 =1+ 0 2 2 2 + 2 它满足 + = ( )能量本征值的二级近似解 = 2 2 2 + 0 2 2 2 2 + 2,(4.2.13) 2 2 + 2 + + + =0 =0; 换为, 2 2 + 2 + 0 + =0 1， = , = 2 2 2 + 0
6、 2 2 2 2 + 2,非简并微扰,考虑周期势场的扰动，电子的波函数是波矢为 的零级平面波与所有可能的散射波的线性叠加。散射波加入的份额取决于它与零级状态的能量差和 散射结果受选择定则的支配， 态电子只能被散射到与它相差一个倒格式的 + 态以上波函数和能谱结果只适用于 2 2 2 + 2 的情况，因此电子的波函数十分接近自由电子的情况,简并微扰,当满足 2 + 2 =0时，分母趋于零将导致发散 原因是两个状态的电子具有相等的能量，无论怎样小的扰动都会引起两个态之间很强的耦合 将波函数写为 = + + | + 确定待定系数的方程 2 2 2 + + =0 2 2 ( + ) 2 + + =0,
7、 = 1 + 1 0 + ( + ) , = 2 2 2 + 0 2 2 2 2 + 2,(4.2.13) 2 2 + 2 + + + =0, =0; 换为；只取 + 项 2 2 + 2 + + =0 =0; 只取 + 项 2 2 + 2 + + =0,简并微扰,确定能量本征值 2 2 2 2 2 + 2 E k =0得到 = 1 2 2 2 2 + 2 4 4 2 2 + 2 2 +4 V K h 2 由于 = , 2 2 2 = 2 2 + = 2 2 2 ,四、布里渊区、能带、能隙、禁带,非简并微扰的计算是发散的，条件是： 2 =(+ )2 也就是 + 1 2 =0 满足这个方程的k矢量的端点，在k空间确定了一系列的平面，这些平面是倒格矢- 的垂直平分面，也就是布里渊区边界。,o,-Kh,K,1/2-Kh,布里渊区：,第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz原胞取法相同。它是倒点阵的原胞。,
