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1、第三章 点群, 定义: 三维实正交群O(3)的有限子群.第一类点群: 只含转动元素, SO(3)的有限子群, 也称为固有点群;第二类点群: 除含有转动元素外,还含有转动反演元素., n阶转动轴: 设点群G是由绕固定轴k 转动生成的n阶群,则G由Ck(2/n)生成.固定轴k 称为n阶轴. 将元素Ck(2/n)记为Cn, 群G是由Cn生成的n阶循环群Cn, Cn2, , Cnn=E, 记为Cn., 定理:设G是点群, K是G的转动子群, 即K=GSO(3), 则有三种可能:1) G=K, G是SO(3)的有限子群, 即G是第一类点群;2) GK, G包含空间反演元素I, 则G=KIK=KE,I,
2、称为I型非固有点群;3) GK, 且IG, 则G与转动群G=KK+同构, 其中K+ =Ig|gG, g K 称为P型非固有点群., 由第一类点群可构造出第二类点群:1) G=KIK=KE,I2) G=KIK+, 点群是群, 满足群的封闭性; 点群是有限群, 具有有限的元素;第一类点群是SO(3)的子群, 群元具有SO(3)群元特点. 点群G的阶n和转动轴阶ni的关系.,l是极点G轨道的个数, 同一轨道上的极点是具有相同阶数ni的转动轴与球面的交点。 2）ni是第i条G轨道中极点对应的转动轴的阶。 3）n是点群G的阶数。 4）n/ni是第i条G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个G轨道点。,3.
3、第一类点群, 第一类点群的分类. 5种可能情况:,1) n阶循环群Cn群:,2条极点G轨道, 每一条轨道上有一个点, 则点群中所有转动元素保持极点不变. 转动轴阶数为n. 转动轴与球面的两个交点各自组成一条G轨道. 一个以固定n阶转动轴k生成的n阶循环群cn =Cn. Cn2, Cnn=E, Cn=Ck(2/n).,每个元素自成一类, 共有n个类: E, Cn, Cn2, ,Cnn-1 共有n个一维不可约不等价表示. 分别由AP(Cn)=exp(p-1)2i/n, p=1,2,n生成. 3) 每一个表示的特征标为p(Cnm)=exp(p-1) 2mi/n.,2) 二面体群Dm群:,3条极点G轨
4、道: 第一条和第二条轨道上各有(n/2)=m个点, 均对应于二阶轴, 共有2(m/2)=m条; 第三条轨道上有(n/m)=2个点, 对应于一个m阶转动轴的两个极点. 因为m阶转动轴的两个极点rm与(rm)在同一条轨道上, 故对点群中任意元素g, 使g rm= rm或g rm=rm,因而所有m个二阶轴与m阶转动轴垂直. 保持正多边形空间位置不变的有限转动群, 称为二面体群.,相邻二阶轴的夹角相等. m=奇数时,为2/m; m=偶数时,为/m 与m阶轴垂直的二阶轴将绕m阶轴的转动 元素与其逆转动通过相似变换联系起来.,单位元素E自成一类; Cmk和Cmm-k成一类,k=1,2,(m-1)/2; m
5、个二阶轴为一类; 共有(m+3)/2类.,m=奇数时,m=偶数时,单位元素E自成一类; Cmk和Cmm-k成一类, k=1,2,(m-2)/2; Cmm/2自成一类; m个二阶轴分为两类: 夹角为2/m的二阶轴各为一类; 共有m/2+3类.,D2群: 由三个垂直的二阶轴生成1) 共分为4个类,2) 4个一维不可约不等价表示,E,C2(1), E,C2(2), E,C2(3)均是D2的不变子群.D2是E,C2(1)和E,C2(2)的直积群, D2=C2C2,可由两个二阶循环群C2表示的直积给出.,正方形对称群D4 : 1) 共分为5个类,2) 5个不可约不等价表示,4个一维不可约不等价表示, 一
6、个二维表示. D4有三个三阶不变子群:,D4有到二阶循环群的三个同态, 可得到D4的三个 一维非恒等不可约不等价表示,3) 四面体群T群:,3条极点G轨道: 第一条轨道上有(n/2)=6个点, 均对应于三个二阶轴, 共有(6/2)=3条;第二条和第三条轨道上各有有(n/3)=4个点, 对应于4个3阶转动轴的8个极点. 保持正四面体空间位置不变的有限转动群, 称为四面体群.,T群12个元素分4个类:,T群有4个不等价不可约表示:,T群不变子群,与D2同构，其商群T/D2=D2，C3 D2， C32 D2与三阶 循环群同构，可得T群的三个一维不等价表示,T群有1个3维表示:,4) 八面体群O群:,
7、3条极点G轨道: 第一条轨道上有(n/2)=12个点, 对应于6个二阶轴, 共有(12/2)=6条;第二条轨道上有(n/3)=8个点, 对应于4个3阶转动轴的8个极点；第三条轨道上有(n/4)=6个点, 对应于3个4阶转动轴的6个极点. 正八面体对称转动群, 称为八面体群.,12个棱边中相对棱中点连线给出6个2阶轴； 8个面中相对面重心连线给出4个3阶轴； 6个顶点中相对顶点连线给出3个4阶轴。,共有5个类，故有5个不等价不可约表示,2个一维表示，一个二维表示，二个三维表示,5) 十二面体群Y群:,3条极点G轨道: 第一条轨道上有(n/2)=30个点, 对应于15个二阶轴, 共有(30/2)=
8、6条;第二条轨道上有(n/3)=20个点, 对应于（20/2）=10个3阶转动轴；第三条轨道上有(n/5)=12个点, 对应于（12/2）=6个5阶转动轴. 正十二面体对称转动群, 称为十二面体群., 第二类点群可由第一类群构造。分为9类：,CnI Cn= CnE,I，2n阶阿贝尔群，共有2n个共轭类。 2）DnI Dn = DnE,I ，2n阶群。 3）TI T = TE,I ，24阶群,称为Th群。共有8个共轭类。 4）OI O = OE,I ，48阶群,称为Oh群。共有10个共轭类。 5）YI Y = YE,I ，48阶群,称为Oh群。共有10个共轭类。 表示可由第一类点群的表示与二阶循
9、环群表示直积得到,4. 第二类点群,7）与Dn同构的P型第二类点群。,K=Cn=Cn, Cn2, Cnn是Dn的不变子群.陪集K+为,Dn=KK+, 与Dn同构的第二类点群为 KIK+,8）与D2n同构的P型第二类点群。,K=Dn是D2n的不变子群.,D2n=KK+, 与D2n同构的第二类点群为 KIK+,陪集K+为,9）与O同构的P型第二类点群。,K=T是O的不变子群.,O=KK+, 与O同构的第二类点群为 KIK+,陪集K+为, 偶数阶转动反射轴S4n生成的元素, 偶数阶转动反射轴S4n+2生成的元素,3） Th群: TI T = TE,I 。取Th群的一个二阶轴C2为主轴,与主轴垂直的平
10、面称为水平反射平面,记作h.,第二类点群与Schoenflie分类的对应,Th可由T和对T的反射操作 得到,4） Oh群: OI O 取Oh群的一个四阶轴C4为主轴.,1） CnICn 群 n为奇数时,第二类点群与Schoenflie分类的对应,称为S4n+2群.,n为偶数时, 有IC2nn=h,故,记作C2nh群.,7）与Dn同构的P型第二类点群。,第二类点群与Schoenflie分类的对应,上述点群可由Cn群加上对 垂直反射平面反射操作得到, 称为Cnv群.,取Cn为主轴.过主轴且垂直于C2(i)的平面称为垂直反射面,记作V(i),第二类点群在Schoenflie分类中分为9类:,9）与O同构的P型第二类点群。,第二类点群与Schoenflie分类的对应,上述点群可由Cn群加上对 垂直反射平面反射操作得到, 称为Cnv群.,取Cn为主轴.过主轴且垂直于C2(i)的平面称为垂直反射面,记作V(i),
