《线性系统理论-郑大钟(6-反馈系统的时间域综合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性系统理论-郑大钟(6-反馈系统的时间域综合（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 线性反馈系统的时间域综合,研究,分析：对于一个具体的控制系统和已知的外部输入，如何从理论上对它的运动行为如状态运动规律、稳定性等，结构特性如结构特征、能控性、能观测性等进行确定。,综合：给定系统方程，根据对系统性能的要求，如何确定系统的外部输入即控制作用，使系统的性能能全面满足技术要求。,通常控制作用取为反馈形式。无论是抑制外部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反馈控制都要远优越于非反馈控制。,本章以状态空间方法为基础，针对常用典型形式性能指标，讨论线性时不变系统的反馈控制综合问题。,61 引言,综合问题的提法,系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。,所谓系统综
2、合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。,对象,目标,手段,状态反馈输入：u (t) =Kx(t)+(t),输出反馈输入：u (t) =Fy(t)+(t),系统综合 系统设计,理论“设计”确定u(t)的形式和构成,工程设计考虑各种实际问题,性能指标的类型,性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定。,非优化型性能指标(不等式型),优化性型能指标 (极值型),（1）镇定问题,（2）极点配置,（3）解耦控制,（4）跟踪问题,研究综合问题的思路,建立,可综合条件,控制规律的“算法”,工程实现中的一些理论问题,
3、（1）状态反馈物理构成问题,（2）系统模型不准确性和参数摄动问题,（3）对外部扰动影响的抑制问题,控制规律的“算法”综合问题的计算方法和步骤，适于编程，数值稳定性。,62 状态反馈和输出反馈,状态反馈,设连续时间线性时不变系统,状态反馈下受控系统的输入为：u =Kx+，KRpn,状态反馈系统xf 的状态空间描述为：,特征值改变,GK(s)=C(sI-A+BK)-1B,结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。,维数没有增加,输出反馈,设连续时间线性时不变系统,输出反馈下受控系统的输入为：u =Fy+，FRpq,输出反馈系统yf 的状态空间描述为：,维数没有增加,GF
4、(s)=C(sI-A+BFC)-1B,结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。,GF(s)=G0(s)I+FG0(s)-1,特征值改变,状态反馈和输出反馈的比较,反馈属性：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。 反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。 改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）,反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。 解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器,扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。,63 状态反馈极点配置：单输入情形,极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。,问题的提法,给定连续线性时不变单
5、输入受控系统,控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。,任意指定期望闭环极点组：1*, 2*, ,n*,在状态反馈下，控制输入为：u =Kx+，KRpn,闭环系统为：,其特征值满足：,i(A-BK) = i* , i=1,2, n,期望闭环极点组,(1)期望闭环极点组的性能指标属性,二重性,理论计算：期望闭环极点组,控制工程：直观性能指标,(2)控制工程中基本类型的性能指标,时间域： ，ts，tr，td，
6、tp,频率域：Mr , r , cc,可以相互转化,(3)基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系,(4)期望闭环极点组的确定,工程型的性能指标,n-2个期望闭环极点,Re(si) =(46)Re(s1) , i=3,4, n,极点配置定理,对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统：,系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。,极点配置算法,思路： 在受控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控规范型，,由于,注：当系统不完全能控时，若不能控部分特征值属于期望闭环特征值 ，仍然能够配置系统的全部闭环极点,极点配置算法,Step1: 判别（A，b）能控性 Step2:
7、 计算矩阵A特征多项式det(sI-A)=(s)=sn+ n-1sn-1+ 1s+ 0,Step3: 计算由期望闭环特征值,决定的期望特征多项式,Step4: 计算,Step5：计算能控规范性变换矩阵,Step6：计算 Q = P -1,Step7：计算,Step8：停止计算,注释:对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的
8、动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，所期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的所期望的特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。,例1连续时间线性时不变状态方程为,期望闭环极点为,计算状态反馈阵K,解：容易判断 系统能控,计算由期望闭环极点组决定的特征多项式,0= 0，1= 72，2=18,0*= 4，1*= 6，2*=4,计算,如果是低阶系统（n 3），则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式，可能更
9、为简便。,由期望闭环极点组决定的特征多项式,i(A-BK) = i* , i=1,2, n,64 状态反馈极点配置：多输入情形,多输入情形的极点配置在研究思路和计算方法都要复杂一些。,系统的循环性,定义：循环矩阵和循环系统 当系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式 (s)之间只存在常数类型的的公因子k，即有(s)= k (s) ，则A为循环矩阵，系统为循环系统。,(1)循环系统的约当规范型 当且仅当系统矩阵A的约当规范型中相应于每个不同特征值仅有一个约当块。 (2)循环系统的特征值属性 若系统矩阵A的特征值为两两互异，则系统为循环。 (3)循环系统的能控属性 对多输入n维连续时间线性时不变循
10、环系统 ，至少存在一个n为列向量b，使向量组b，Ab，An-1b张满整个n维空间，即A，b为完全能控。,结论：,(4)循环系统的能控属性 对多输入n维连续时间线性时不变循环系统 ， A，B为完全能控，则对几乎所有的p1实向量，使单输入矩阵对A，B 为完全能控。 (5)非循环系统的循环化 对多输入n维连续时间线性时不变非循环系统 ， A，B为完全能控，则对几乎所有的pn实常阵K，可使ABK 为循环。,极点配置定理：,对多输入n维连续时间线性时不变系统,系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为A,B完全能控。,极点配置算法：,对于多输入n维连续时间线性时不变受控系统，可以采用多种算法
11、确定极点配置状态反馈矩阵K。假定受控系统为完全能控。,控制工程中几乎所有受控系统都为能控！,极点配置算法1：（化多输入系统为单输入系统极点配置）,给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个pn实常阵K1，使,为循环；若循环，表,step2:选取一个p1实常向量 ，表b=B，使,为完全能控,step3.对等价单输入系统 ，利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。,step4.对A为循环，K k；对A为非循环，K kK1,注： 由于K1和 的不惟一性，状态反馈矩阵K不惟一和秩1性
12、，通常希望K1和 的选取使K的各个元尽可能小。,step5.停止计算,例1连续时间线性时不变状态方程为,期望闭环极点为,，计算状态反馈阵K,解：容易判断 系统能控,(1)判断A的循环性,(s) k (s) A不是循环矩阵,任意选取一个pn实常阵K1,(2)选取一个p1实常向量 ，表b=B，使,为完全能控,当1=1，2=0时，,为完全能控,(3)对等价单输入系统 ，利用单输入情形极点配置算法，计算出状态反馈向量 k = 5 1 。,(4) A为非循环，K kK1,(5) 校核,由于K1， 的不惟一性，使K非唯一。例如：,k = -2 5 ,K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要
13、区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个活跃的研究领域。,极点配置算法2：,给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,step1.将能控矩阵对 A,B化为龙伯格能控规范型。设；,P196,step3: 对龙伯格能控规范型 ，按如下形式选取pn状态反馈矩阵 ，例如：,step2: 将期望闭环特征值组 ，按龙伯格能控规范型 的对角块阵个数和维数，分组并计算每组对应的特征多项式 ，例如：,step5.计算所求状态反馈矩阵 。,注： 此算法有两个优点： (1)计算过程规范 (2)状态反
14、馈矩阵的元比算法1小得多。,step6.停止计算,step4: 计算化A,B为龙伯格能控规范型 的变换矩阵 。,极点配置算法3：,给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,，并引入附加限制：,Step1.任意选取一个nn实常阵F ，使满足,Step1.任意选取一个nn实常阵F ，使满足,作为参考，F阵可按如下方式选取，由期望闭环特征值组 导出相应特征多项式,引入任意非奇异实常阵H，可将F阵取为：,Step2.任意选取一个Pn实常阵 ，使 为能观测。,Step3.对给定矩阵A,B,F和 ，求解希尔维斯特(sylvester)方程。
15、,的nn非奇异解阵T。,step4.判断T非奇异性。若T非奇异，继续，否则返回step2重新选择 。,step6.计算所求状态反馈矩阵 。,注： 此算法有两个特点： (1)相对于算法2，避免了化A,B为龙伯格能控规范型 的过程。 (2)主要计算步骤为求解希尔维斯特(sylvester)方程非奇异解阵T 。,step7.停止计算,step5: 计算 。,状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响,结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。,注：实际上，通过状态反馈有可能将g(s)的部分极点配置为与g(s)的零点相重，构成零极点对消从而对零点产生影响。这也是对状态反馈不能保证能观测性的一个直观解释。,
