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1、概率论与数理统计,（面向工科各专业）,教材 概率论与数理统计 北京交通大学概率统计课程组编 科学出版社 参考书 1. 概率论与数理统计（盛聚等编4版 高教出版社） 2.概率论与数理统计教程（茆诗松等编 高教出版社） 主讲人：张作泉 教授 博导 （北京交通大学理学院） ,1. 考试内容：本学期第一次考核内容为第一章和第二章，第二次考核内容为第三章、第四章和第五章，第三次考核为期末考试，考核全部内容，即前六章。2. 期末最终成绩构成：两次月考各占10%，共占20%，作业与考勤占20%（其中，三次随机点名不到或者严重违纪者取消考试资格；旷课一次扣3-5分; 作业一次不交扣2分，扣完为止），期末占60
2、%。,学 期 考 核,本课程ABC,国内有关经典著作,国外有关经典著作,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题
3、作出推断或预测，直至为采取一定的决策,策和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科 , ,但在研究问题的方法上有很大区别：,概率论 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;,数理统计 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性.,数理统计的核心问题由样本推断总体,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、
4、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程 来描述;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问
5、,题要用到多变量非线性生灭过程,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数.,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学试验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：, 1 随机试验（random experiment ）,第一章 概率与随机事件,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地
6、一昼夜的最高温度和最低温度。,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,返回主目录,随机试验,这些试验具有以下特点：,可以在相同的条件下重复进行；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；,我们把满足以上三个特点的试验称为随机试验。,第一章 概率与随机事件,一 样本空间 二 随 机 事 件,P&S,2 样本空间与事 件 目录索引,返回主目录,第一章 概率与随机事件,1 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S 或 。 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,= 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,返
7、回主目录,= H , T ,= 0, 1, 2, 3 ,= HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT ,第一章 概率与随机事件,S1,S2,S3,S4,S5 = 0,1,2,3,E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。,P&S,返回主目录,S6 = t | t 0 ,S7 = ( x , y ) | T 0 x y T1 ,第一章 概率与随机事件,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S的某子集为 E 的 随机事件，用A，B，C，等表示；基本事件 : 有一个样本点组成的单点
8、集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,2、 随 机 事 件,我们称一个“随机事件发生”当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现,返回主目录,(可能发生，也可能不发生）,(必然发生）,(必然不发生）,如: 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT,第一章 概率与随机事件,S2,事件 B3=t|t1500表示“灯泡是一级品”,P&S,返回主目录,例如：,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT,表示 “第一次出现的是正面”,S6 中事件 B1=t|t1000,表示 “灯泡是次品”,事件 B2=t|t 1000,表示 “灯泡是合格品”,B=THH,THT,TT
9、H,TTT,表示 “第一次出现的是反面”,第一章 概率与随机事件,事件间的关系与运算,P&S,3 事 件的关系和运算 目录索引,返回主目录,第一章 概率与随机事件,10 包含关系：,1 、 事件间的关系,20,P&S,返回主目录,“A发生必然导致B发生”,第一章 概率与随机事件,“A发生必然导致B发生且B发生必然导致A发生”,2 、 事件的运算,20 和事件,10 积事件,返回主目录,“A，B中至少有一发生”,“A与B同时发生”,第一章 概率与随机事件,30 差事件,40 互不相容,50互逆（对立）事件,P&S,返回主目录,“A发生但B不发生 ”,“A与B不能同时发生”,第一章 概率与随机事件
10、,S,B,S,A,P&S,40 互不相容,50 对立事件,A,返回主目录,第一章 概率与随机事件,S2 中事件A=HHH,HHT,HTH,HTT,B=HHH,TTT,P&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,P&S,2、一个试验的基本事件是两两互不相容 的事件，它们的和事件是必然事件。,返回主目录,注意：,1、互逆事 件必为互不相容事件，反之不 一定。,第一章 概率与随机事件,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,P&S,结合律:,分配律:,De Morgan定律:,返回主目录,特别：,第一章 概率与随机事件,事件间的关系与运算举例；,P&S,返回主目录,“A，B，C中至少有一发生” ：,
11、“A，B，C中至少有两发生” ：,“A，B，C中最多有一发生” ：,例1,第一章 概率与随机事件,P&S,返回主目录,答：应选（D）,例2,第一章 概率与随机事件,一 频 率 二 概 率,P&S,4 事件的概率 目录索引,返回主目录,第一章 概率与随机事件,一 、 频 率,1） 频率的定义和性质,P&S,定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数nA 为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,返回主目录,第一章 概率与随机事件,频率具有下述性质:,返回主目录,第一章 概率与随机事件,频率的意义:,P&S
12、,返回主目录,第一章 概率与随机事件,P&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,P&S,n=500时,返回主目录,2 ） 频率的稳定性,第一章 概率与随机事件,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,P&S,返回主目录,第一章 概率与随机事件,二、 概率的（公理化）定义,1、定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足 下列条件：,P&S,返回主目录,（可列可加性）,（正则性或正规性）,（非负性）,第一章 概率与随机事件,2、 概率的性质与推
13、广,P&S,返回主目录,证：,第一章 概率与随机事件,返回主目录,（有限可加性）,证：,第一章 概率与随机事件,返回主目录,（包含可减性）,（非降性）,证：,第一章 概率与随机事件,返回主目录,（加法公式）,（逆事件的概率公式）,第一章 概率与随机事件,重 要 推 广,P&S,返回主目录,（加法公式）,第一章 概率与随机事件,加法公式的推广,第一章,返回主目录,例1,第一章,返回主目录,已知 A、B、C 是三个事件，且,求 A、B、C 全不发生的概率。,解,例1（续）,第一章,返回主目录,第一章,返回主目录,例2,已知,则,解,第一章,返回主目录,则,例3,已知,解,第一章,返回主目录,则,例
14、4,解,已知A、B是两个事件，且,第一章,返回主目录,则,例5,解,已知A、B是两个事件，且,第一章,返回主目录,求,例6,解,已知A、B是两个事件，且,一 乘法原理,预备知识,完成一项工作须经 2 步，而实施第k(k=1,2 ) 步有 个不同方案，则完成此项工作 共有 个不同方案。,概率论与数理统计,二 加法原理,完成一项工作有两种不同过程而实施第k(k=1,2) 个过程有 个不同方案，则完成此项工作共有 个不同方案。,二 排列与组合,（1）相异元素不许重复的排列公式,概率论与数理统计,从n个不同的元素中取m个不同元素(不许重复) 排成一列,称为相异元素不许重复的一种排列.,排列公式(排列总数),全排列: n!,（2）相异元素允许重复的排列公式,概率论与数理统计,从n个不同的元素中取m个元素(允许重复) 排成一列,称为相异元素允许重复的排列.,排列公式,注意:排列问题考虑元素的次序.如:12 , 21 是两种不同的排列,（3）相异元素不许重复的组合公式,概率论与数理统计,从n个不同的元素中取m个不同元素(不许重复) 组成一组,称为相异元素不许重复的组合.,组合公式,注意:组合问题不考虑元素的次序.,如:12 , 21 是相同的组合.,1-5 等可能概型 目 录 索 引,
