《等差数列前N项和的公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列前N项和的公式（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列前n项和公式复习回顾问题呈现例题讲解小结与作业复习回顾 (1) 等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m）(2) 等差数列的性质:在等差数列 an 中,如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么: an+am=ap+aq返回泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图 案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相 同大小
2、的圆宝石镶饰而成，共有100层（ 见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现 问题1下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法 ，需要把中间项11看成首、尾两 项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高 斯“首尾配对” 的算法还得分 奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？ 下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共
3、有 多少颗宝石？1 2 32121 20 191获得算法：下一页问题2一个堆放铅笔的V形 架的最下面一层放一 支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放 一支，最上面一层放 100支.这个V形架上 共放着多少支铅笔？问题就是 求 “1+2+3+4+100=？” 下一页问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n， 的前100项的和。假设1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以x=5050.高斯
4、下一页问题3:求:1+2+3+4+n=?记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1下一页设等差数列a1,a2,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导下一页即前n项的和与首项末项及项数有 关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？因为 an=
5、a1+（n-1）d 所以 Sn=na1+n (n-1)d/2下一页下一页由此得到等差数列的an前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二下一页【说明】推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；an为等差数列 ，这是一个关于 的没有 的“ ” 倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数（ 注意 a 还可以是 0）等差数列前n项和公式补充知识下一页【公式记忆】用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数 列前n项
6、和的两个公式.等差数列的前n项和公式类同于 ；梯形的面积公式n返回例1 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是： 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为an, 其中 a1=7500, a7=10500. 根据等差数列前n项和公式，得答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.下一页例2 等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数， 注意得到的项数n 必须是正 整数.下一页解：将题中的等差数列记为an
7、，sn代表该数列 的前n项和，则有a1=10, d=6(10)=4 根据等差数列前n项和公式： 解得 n1=9, n=3(舍去)因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是 54.设该数列前n 项和为54 下一页例3 求集合M=m|m=7n, n是正整数, 且 m100的元素个数, 并求这些元素的和.解:由7n100得 n1007,由于满足它的正整数n共有14个, 集合M中的元素共有14个. 即7, 14, 21, , 91, 98. 这是一个等差数列, 各项的和是答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.=735返回1.推导等差数列前 n项和公式的方法小结：2.公式的应用中的数学思想. -倒序相加法-方程思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知其中三个量，可以求其余两个 -知三求二下一页课本P118:习题3.3 第七题第九题下一页返回
