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1、迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理*中国矿业大学中国矿业大学 xxx xxxClick to edit Master title styleClick to edit Master subtitle style*22.3 广义坐标有限元法的一般格式迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 常见的单元类型：迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理2.3.1 选择单元位移函数的一般原则 （1）位移
2、模式中的待定系数（广义坐标）个数 ，应与单元的结点位移数相等；（2.2.1）（2）位移模式中，常数项 与一次项必须完备； （3）多项式选取由低次到高次，且尽可能选取 完全的多项式，以提高单元的精度；如：迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理一次 二次三次四次0 次Pascal 三角形（4）当由于项数限制，不能选取取完全多项式时，应考 虑多项式应具有对称性，如：4节点 矩形单元迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 2.3.2 广义坐标有限单元的一般格式 （1）
3、以广义坐标 为待定参数，给出单元内位移 分布 u ；（2.3.1） 对于二维问题：对于3结点三角形单元：3节点 三角形单元123迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n2用单元结点位移 表示广义坐标 惯用的单元结点位移排列是 为便于求解广义坐标，可采用另一表示方法，如 （231）式中代入单元结点坐标得到 二维问题 用（232）式解出 迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 n3以单元结点位移ae 表示单元位移函数u， 得到单元插值函数矩阵N将（233）式代 入
4、（23l）式 二维问题 将结点位移 改为一般排列顺序ae ，则有 迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n4以单元结点位移ae 表示单元应变和应力应 变： 应力：由弹性变形产生的应力 当有初应力和初应变时，应力的一般式是 迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n5用最小位能原理建立离散体系的结点 平衡方程n系统总位能的离散形式 将（235）（237）式代入上式并 将单元结点位移ae用结构结点位移a表示， 即ae=Ga，（238）式即为 迅速改善中信银行零售业绩
5、方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n总位能的变分 得到有限元求解方程 其中 式（2312）是单元刚度矩阵的普遍公 式 （239）式中的是作用在连续体边界上 的力，包括作用在有关单元边界上的分布力 和作用在结点上的集中力两部分。 为了方便起见可以将这两部分外载分开， 将T作为分布面力，结点集中力用F表示，则 载荷列阵P可以写作迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理PF 结点集中力列阵 （2314）式是计算单元等效结点载 荷列阵的普遍公式。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企
6、业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n6引入强制边界条件n7解方程得到结点位移n8进行需要的辅助计算n如利用（236）、（237）式计算 单元应变和应力，也可按需要计算其他项 目。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n由上面过程可以看到：n13是假定位移模式、求解广义坐标，最后 得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限 元的特征。n45是利用变分原理建立有限元格式的一般 方法。这里用的是最小位能原理，建立以位 移为基本场变量的有限元求解方程，求解平 衡问题。n68是建立有限元方程后的一般解法和计算 步
7、骤。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理n广义坐标有限元可能产生的困难是：n当位移函数选择不恰当时，可能不存在A-1 而使求解广义坐标成为不可能。n同时，当单元结点较多时，解广义坐标的 过程显得繁琐，因此也可以利用自然坐标 直接构造单元的插值函数，这样就可以避 免求解广义坐标的过程，建立有限元的方 程和求解只需从第4步开始。n本章第5节将结合矩形单元和高精度三角形 单元讨论直接建立单元插值函数的方法， 关于建立单元插值函数更系统方法将在下 一章中给出。Click to edit Master title styleClick
8、 to edit Master subtitle style*162.4 有限单元解的性质与收敛性迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 一. Ritz法的收敛准则对连续介质问题，有泛函：其中:要求试函数必须满足：完备的函数系列（完备性）应满足连续性要求（协调性）1）2）迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 Ritz 法的收敛条件：（1）近似函数 u 具有完备性 （2）试探函数 u 具有连续性（取完全多项式）（C0 类连续） FEM 法与Ritz 法的区别：
9、Ritz 法在全域上假设近似函数 u，FEM 法在单元上假设近似函数 u，近似函数 u可以有多种类型。近似函数 u一般都为简单多项式。问题：在什么条件下，当单元尺寸趋于零时， FEM 法的解趋于精确解？迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理 引例：设一标量场：存在标量泛函：假设泛函 中含有：为非零的，则近似函数 至少为 m 次多项式，即迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理（2.4.3）显然，仅当 pm 时，各项都包含常数项，意味着，当单元尺寸趋各项趋于常数，
10、即， 有限元法的近似解收敛于精确解。于零时，迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理收敛条件1：必须是m次以上的完备多项式； 收敛条件2：仅可能在相邻单元边界上连续。弹性力学问题中，有限元法的收敛准则：准则1： 完备性要求若泛函p中含有未知函数的最高阶导数为 m 阶，则未知函数至少是 m 次完全多项式。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理p中含：要求：为 x、y、z 一次完全多项式对于平面问题：对于空间问题：对于梁的弯曲问题？ 最高阶导数次数 m=1弹性力学问
11、题：迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理准则2：协调性要求若泛函p中含有未知函数的最高阶导数 为 m 阶，则要求未知函数在相邻单元交界面 上须满足 Cm-1 类连续性，即保证交界面上未 知函数 m1 阶的连续可导。当单元的插值函数满足上述要求时，称这 种单元是协调的。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理对弹性力学问题， 泛函p中含有未知函数故要求近似位移函数 u对于3结点三角形单元：满足协调条件的最高阶导数为 1 阶，在相邻单元交界面上须满足 C0 类连续
12、性。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理总结：同时满足完备性、协调性条件的单元 称为协调单元（3结点三角形单元为完备、协调单元 ）完备、协调单元的解一定收敛于精确解。不满足协调性条件的单元称为非 协调单元如：板壳问题中某些单元。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理二. 在有限元法中，插值函数（试函数）对 应单元内，而不是全域。插值函数一般选用多项式以满足其完备 性要求当单元尺寸0 时，精确值（即趋于常数）这里插值函数至少应选用m次完备的多项式迅速改善中信银
13、行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理位移模式必须能够反映单元的刚体位移。位移包括两部分，一部分是变形引起的，另 一部分是由于刚体位移引起的。位移模式必须能够反映单元的常应变。一部分与该单元中各点的位置坐标有关， 是各点不同的，即变量应变。另一部分与单元中各点的位置坐标无关。是 各点相同的，即常量应变。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理位移场应当能够反映连续弹性体系位移的连 续性。在单元内位移模式取坐标的单值连续函数， 在公共边界上（单元间）具有相同的位移。C0连续性要
14、求，由于m=1 ，即要求m-1 阶 连续，即场函数自身连续。物理意义：位移场在单元交界面连续， 否则单元交界面会引起无限大应变。（ 由此产生附加应变能）迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理很明显：3结点三角形有限元，满足上述 二条件，是收敛的。但在实际计算中，因 为是有限尺寸单元，所以存在离散误差。（*）一般来讲位移元得到的是位移的下 限解，所以连续体(无限多自由度) 离散有限个自由度，刚性变大，位移变小。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理2.4.2 收
15、敛准则的物理意义1. 完备性准则要求位移函数为一次完全多项式常数项：一次项： 反映刚体位移 反映常应变 2. 协调性准则要求位移函数在相邻单元边界上连续， 避免在单元交界面产生无限大的应变能。2.4.3 收敛速度与精度估计迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理三. 离散误差估计精确解可以在域内一点i 的某一邻域内泰勒 展开：如果：单元(特征尺寸h)内位移插值函 数是p次完全多项式 , 则可局部拟合泰 勒展开p阶.迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理x, y为
16、h 量级，位移的误差约为应力和应变（为位移的一阶导数）则误差约为，精度低于位移。例： 3结点三角形单元位移误差应力误差（应变）迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理提高精度的方法：(1) 单元尺寸变小,(2) 插值函数，完备的多项式次数提高。由其他误差:计算误差，包括截断误差，舍入误差.提高精度的方法:(1) 增长字长(双精度)(2) 选取有效的计算方法和合理的程序结构。迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理2.4.4 位移解的下限性质 位移有限元法基于最小位能原理：由第1章讨论，可知：变形位能（应变能）迅速改善中信银行零售业绩方案电子商务在传统企业中的应用店长培训之商品销售数据分析定量分析中的误差与数据处理设有限元解的总位能、应变能、刚度矩阵、 结点位移向
