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1、*1MEASUREMENT INFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING机械工程测试信息信号分析 机械科学与工程学院机械电子信息工程系*2课件资料下载：邮箱地址：密码：注意下载时不要删除原始文件 *3第六章 数字信号分析(I) DFT与FFT*46-5 现代谱分析方法-最大熵谱估计6-3 FFT6-4 谱分析与谱估计6-2 离散傅立叶变换DFT第六章 主要内容6-1 模拟信号离散化 p时域采样定理 p频域采样定理 p周期序列的离散傅立叶级数*56-2 、离散时间非周期信号频域分析q 时域采样信号是以采样频率为周期的周期连续频谱按FT
2、的时延性质可写为：或上式即为DTFT，它是以s(或s)为周期的周期函数，即由于离散时间非周期信号可以看作是离散时间周期信号，当周 期N的极限情况，故DTFT的定义义式同样样也可从离散时间时间 傅 里叶级级数，当周期N时来求得：*66-2 、离散时间非周期信号频域分析当N，各谐谐波分量的复振幅X(k0)趋于无限小，因此如同 CTFT，可采用频谱密度来描述频谱的分布规律。离散时间非周 期信号的频谱密度函数，即离散傅里叶变换DTFT的定义义式为为：当N，0=(2/N)d，k0=T，上式可写为：*76-2 、离散时间非周期信号频域分析X(ej)表示一个离散时间信号，即非周期序列的频谱密 度函数。当x(
3、n)为有限长度N的序列，则有DFT：IDTFTDTFT*8DFT图解分析1、时域采样采样间隔Ts频谱周期间隔为fs，谱的幅值 是X(f)谱的fs倍。 Ts减小， fs增大。*9DFT图解分析2、时域截断采样点数为N 时域截断时域截断出现皱波，Gibbs现象产生的能量泄漏截断后信号的频谱出现皱波，是 矩形截断函数突变阶跃点作用的 结果，减小措施：1、加长矩形函 数的宽度T0；2、选取旁瓣较弱的 窗函数。连续函数连续函数*10DFT图解分析3、频域采样频域采样频域采样离散函数*11DFT变化对DFT正变换DFT反变换两个N维矢量的 相互线性变换*12在一个周期内，可进行如下变换：DFT简单推演*1
4、3DFT的简单推演*14视作n的函数，视作k的函数，这样,DFT的简单推演DFT正变换DFT反变换*151）将x(t)在t轴上等间隔(T)分段2）将x(n)截短成有限长序列t=0T0，N个时域采样对连续时间非周期信号DFT逼近*163）频域采样：一个周期分N段，采样间隔F0，时域周期延拓 ，周期为T0=1/F0，=2F0频域采样*17对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域采样2）时域截断3）频域采样近似逼近：对连续时间非周期信号DFT逼近过程*18对连续时间周期信号的DFS逼近1）时域抽样：将x(t)在t轴上等间隔(T)分段对连续时间周期信号的DFS逼近*192）频域截断：长度正好等于一
5、个周期近似逼近：对连续时间周期信号的DFS逼近*20频率响应的混叠失真及参数的选择时域采样：频域采样：信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾(1)要增加信号最高频率fh，则fs要增加，当采样点数N给定，F0必增加，分辨率下(2)要提高频率分辨率，即F0变小，则T0=1/F0要增加，当N给定的时候，则记录长度T增加，采样频率减小，但要不产生频率混叠，fh必须变小。同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数NF0-频率分辨率，T0信号记录长度，TS为采样间隔*21频率分辨率提高频率分辨率方法：增加信号实际记录长度补零并不能提高频率分辨率F0-频率分辨率，T0信号记录长度，TS为采样间隔*22例
6、有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频率分辨率为10Hz ，（2） 信号的最高频率4KHz，试确定以下参量：（1）最小记录长度 Tp；(2) 抽样点间的最大时间间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。解：（a） 最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔TS(c) 最小记录点数N举例*23信号最高频率fh的确定*24三、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：*25DFT的性质-线性这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且若则1、线性*26DFT的性质-时移特性2
7、、时移特性 在时域移位m，在频域出现相移因子Wmk若将信号x(t)沿时间轴位移t0，则其FT要乘以因子 e-j2ft0*273、频移特性 时间函数x(n)乘以指数项 e j2ln/N， 则DFT就向右圆移l单位DFT的性质-频移特性FT： DFT： *28(1)线卷积x1(n)的长度为N1 (0 n N1-1)x2(n)的长度为N2 (0 n N2-1)x1(n) 、x2(n)的线卷积为4、离散卷积*29的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是 不为零的区间.1012n1012n3例1：4、离散卷积-线卷积运算步骤： 反折、移位、 相乘、取和*30mmm-1-2-31012m4、离散卷积-
8、时域线卷积-举例*31mn2103145233 211012m4、离散卷积-时域线卷积-举例*324、时域线卷积-举例2时域线卷积例2：*33时域圆卷积定理(2) 时域圆卷积定理设 x1(n)和 x2(n)均为长度为N的有限长序列，且*34(2) 时域圆卷积过程 步骤：反折、移位、相乘、取和Y(0)Y(1)Y(2)Y(3)线卷积与圆卷积结果不一致，需补零补零扩展条件LN1+N2-1选取的L不够大，使卷积首尾交叠混淆时域圆卷积过程*35补零时域圆卷积*36离散时域卷积定理q两个周期为N的时域周期采样函数，它们的卷 积的离散FT等于它们的离散FT的乘积q对有限长序列求线卷积的问题，可转化为圆卷 积
9、求解，为FFT计算时域卷积提供依据*37离散频域卷积定理q两个周期为N的时域周期采样函数，它们的乘 积的离散FT等于它们的离散FT的卷积*38DFT计算连续时间信号误差1、用DFT计算连续时间信号的FT可能造成的误差(1) 混叠现象为避免混叠，由采样定理可知，须满足fS2fh其中， fS为采样频率; fh为信号的最高频率分量；或者其中，T为采样间隔。*39(2) 频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号限 制在一定的时间间隔内，也就是说，在时 域对信号进行截断操作，或称作加时间窗 ，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定 理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造 成拖尾现象，称之为频谱泄漏。*40频谱
10、泄漏改善方法：对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加x(n)长度2）缓慢截短(加窗)*41栅栏效应(3) 栅栏效应用DFT计算频谱时，能计算频率F0=1/T0的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的频谱无法确定，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。解决方法：增加频域采样点数N（时域补零），使谱线更密。补零即加大周期T0，可使F0变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。*42DFT与FT的关系qDFT与FT之间是一个近似，存在差异。 qDFT需要采样与截断。1、频域有限的周期信号，时域截断长度等于周期时 当截断长度等于其周期时，DFT与FT之间的差别仅仅是一个比例因子TS DFT与FT等价
11、条件： (1)时间函数x(t)是周期性的； (2) x(t)是频域有限信号；(3)采样频率至少是x(t)的上限频率的2倍；(4)截断函数u(t)必须正好在x(t)的一个周期内是非零的*43频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期截断时域频域频域卷积定理 函数卷积特性频域卷积定理 函数卷积特性时域卷积定理 函数乘积特性 函数卷积特性*44频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期时域频域P46 图2-39 脉冲序列与矩形脉冲的卷积*45频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期时域频域幅值变化*46频域有限周期信号其时域截断长度不等于周期截断时域频域频域卷积定理 函数卷积特性频域卷积定理 函数卷积特
12、性时域卷积定理 函数乘积特性 函数卷积特性DFT与FT出现差异 T0T0零频率处出现波形， 1/T0, 2/T0,处不为零频率间隔T0过零点是 1/T0, 2/T0产生具有间断点的周期函数 ，时域截断等效于一个Sa函 数与单个脉冲的卷积是个频 率的连续函数。泄漏效应*473、时域有限而频域无限信号存在频混现象。 TS要求足够小，可减少频 混误差*484、一般周期信号 5、任意信号*496-2 、用DFT对模拟信号作频谱分析q信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换xa(t)抽样t=nTsx (n)截短FTXa(j)周期延拓s=2/Tsx (n)d(n)周期延拓 xN (n)周期延拓取一个周期xN (n)Xa(ej)卷积Xa(ej)*D(ej)DTFTDTFTDFS 抽样0= /NXN (k)周期延拓取一个周期XN (k)DFT利用DFT对连续时间信号的逼近*50作业：FFT算法q简述库利-图基FFT算法的基本原理并以 采样序列x(n), n=0,1,15为实例具体说 明计算流程图。
