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1、 第七章 非线性系统分析 目的 掌握非线性控制系统的初步分析方法内容 作相平面图 相平面分析法7.1非线性控制系统概述1.本质非线性特性的基本特征l不满足叠加定理l不能采用线性化方法处理问题l稳定性问题 不仅与自身结构参数，且与输 入，初条件有关，平衡点可能不唯一l自持振荡问题 非线性系统特有的运动形式典型非线性环节饱和 死区(不灵敏区) 间隙 继电特性2.典型的非线性特性 继电特性 饱和特性死区（不灵敏区） 死区特性线性+死区继电+死区饱和+死区 间隙特性饱和间隙继电间隙齿轮间隙当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量得变化超出间隙值典型非线性环节饱和 死区(不灵敏区) 间隙
2、继电特性稳态误差ess 饱和死区继电特性非线性特性等效K*对系统的影响举 例振荡性，s 限制跟踪速度晶体管特性滤除小幅值干扰电动机，仪表抑制系统发散 容易导致自振开关特性非线性特性的定性分析1）小扰动线性化2）非线性系统研究方法3）仿真方法全数字仿真 半实物仿真相平面法 描述函数法研究自持振荡 反馈线性化法 微分几何方法非线性控制系统的分析方法7.2 相平面分析法1.相平面与相平面图(相轨迹 )二阶微分方程系统变量相轨迹系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。例：一阶线性系统画出其相平面图。 解： x x b 0 a0 2.相轨迹作图 解析法作图（适用方程不显含 ）相轨迹方程例：
3、二阶系统如下，试绘制其相平面图解：得椭圆方程x &相平面 x 0 等倾线法作图相轨迹的斜率方程则相轨迹的等倾线方程思路：以切线代替曲线如何画出所有相轨迹？A给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以 在相平面上画一条线，在这条线上的所有的 点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该 线称为等倾线。改变的值，便可以作出若 干条等倾线充满整个相平面。例7-1：二阶线性定常系统试用等倾线法作该系统的相平面图。 解：等倾线方程为-1-2-3012等倾线倾线 斜率 11/2-1-1/2 -1/3a= -2 -3 -5 x 3 1 0 -3/4 -1/2 -3/7 -5/4 -3/2 -5/3 -1/3 1/3 -
4、 -1 x 3.相轨迹的运动特性 相轨迹的运动方向上半平面的相轨迹 右行； 下半平面的相轨迹 左行；过实轴相轨迹斜率 为。 相轨迹的对称性 x 轴对称若则相轨迹对称于x 轴 轴对称若则相轨迹对称于 轴 原点对称若则相轨迹对称于原点4. 相轨迹的奇点 定义：二阶系统在相平面上满足 的点 在奇点上相轨迹的斜率不定，为由奇点可以引出不止一条相轨迹5. 奇点邻域的运动性质趋于奇点远离奇点包围奇点例：二阶线性定常系统试分析其奇点运动性质。相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点相轨迹为同心圆，该奇点为
5、中心点系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于然后远离原 点，称为鞍点例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质解：由奇点为在奇点邻域，其线性化方程为在奇点邻域线性化方程为特征根为奇点类型为不稳定焦点6. 极限环在相平面上闭合的相轨迹表现为非线性系统的自持振荡相平面图分析1、分区作出系统的相平面图。2、分析系统的稳定性。3、分析系统是否具有极限环。4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试 用相平面法分析系统运动。解：1. 作相平面图线性部分误差方程非线性部分时，运动方程为等倾线方程为时，运动方程为等倾线方程为2.给定初值 作
6、相轨迹3.系统性能分析运动是分区的组合， 为翻转条件 ， 运动连续，有 振荡补充： 描述函数法 1. 描述函数的定义前提：固有特性固有特性 G0(s) 一般具有低通特性，一般具有低通特性，近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。 若 为奇函数，则基波分量 非线性环节输入输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数定义：输出信号的基波分量与输入正弦信号之比，为非线性环节的描述函数。说明: 1)以幅值与相位变化来描述，类似频率特性。2)略去高频信号，只考虑基频， 因此不同于线性系统的频率特性。2. 非线性环节的描述函数 继电特性描述函数 饱和特性描述函数2. 非线性系统的描述函数分析闭环频率特性闭环特征方程非线性系统的稳定性描述当 曲线不包围 曲线时，该非线性系统是稳定的。 当 曲线包围 曲线时，该非线性系统不稳定。 当 曲线与 曲线相交时，系统可能是稳定的、发散的，或者是自持振荡的 例：已知死区继电非线性系统如图继电参数：死区参数： 应用描述函数法作系统分析。解：1. 死去继电特性的描述函数2. 绘制描述函数的负倒数特性3. 绘制线性部分的极坐标图4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
