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1、一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 第八章 多元函数微分法推广一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同(1) 区域 邻域 : 区域连通的开集 (2) 多元函数概念 n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数一、基本概念一、基本概念 1. 多元函数的定义定义域及对应规律定义域及对应规律解解: :例例1. 1. 求求的定义域的定义域x oy所求定义域为所求定义域为: :例例2 2. .设设解:则称常数A为函数描述性定义 对于二元函数是定义域D的聚点对应的函数值 无限接近于一个确定的常数A，
2、则称A为的极限 记为：2. 多元函数的极限 (1)定义：设函数的定义域为D,是D的聚点.如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于适合不等式的一切点都有成立，当时的极限. 记为：或或记为这里（2）二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系 不同点：二元函数极限的方式（路径）不同 一元函数 的方式有两种，故有 的方式是任意的，有无数个.沿任何路径 时极限存在且相等确定二元函数极限不存在的方法：确定二元函数极限不存在的方法： 令P(x,y)沿y=kx趋向于若极限值与k有关， 则可断言极限不存在； 找两种不同趋近方式， 使存在，但两者不相等，此时也可断言f(x,y)或有的极限不存在， 处极限不存在.在
3、点共同点：即有定义与有极限不能互相推出.定义方式相同. 故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到 多元函数中. 用定义只能证明极限.在点 是否有定义并不影响极限是否存在，联系： 由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同. 所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有 界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概 念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价 无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用 于多元函数极限上.例例3. 3. 考察函数考察函数在原点的二重极限在原点的二重极限. .例4. 求极限 解 :其中3. 多元函数的连续令记则
4、设函数z=f(x,y)的定义域为D，聚点若则称函数z=f(x,y)在处连续.(1)定义：（2）间断点：点连续例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周（3）多元初等函数：如：所表示的多元函数，有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过叫多元初等函数.(4)多元函数连续性的应用-求极限求时， 如果f(P)是初等函数，定义域的内点， 则f(P)在点处连续且是f(P)的定理:定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例5.求解: 函数是二元初等函数，4.
5、多元函数的偏导数 (1)定义：（2 2）多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：）多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：连续连续可导可导偏导记号已不再有“商”的含义.（3 3）多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：）多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：故多元函数偏导的故多元函数偏导的求法与一元函数类似求法与一元函数类似. . 可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用. .因此因此, ,定义方式相同定义方式相同（4 4）偏导及高阶偏导的记号：）偏导及高阶偏导的记号：纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导例例6. 6.解解: :按定义可知：按定义可知：设设求求当当
6、( (x,yx,y)=(0,0)=(0,0)时，时，求分界点、不连求分界点、不连 续点处的偏导数续点处的偏导数 要用要用定义定义求求. .处不可导. 轮换对称性5. 多元函数的全微分对于二元函数对于二元函数 (1)可微的可微的定义: 可微可微 微分：微分：能是 全微分的实质：全微分的实质：(2)(2)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数连续函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续极限存在极限存在连续连续可微分可微分偏导数存在偏导数存在偏导数连续偏导数连续(3) 判定函数可微的方法: 不不连续连续不可微不可微. .不可导不可导不可微不可微. .可微
7、可微定义法定义法: :偏导连续可微可微. .是函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .例7. 选择题 可微可微能(4)几个需要记住的重要函数（反例）:（3 3）函数）函数它在它在(0,0)(0,0)处可导、不可微、不连续处可导、不可微、不连续. .（1）函数（2 2）函数）函数 它在它在(0,0)(0,0)处不可微、因不可导、连续处不可微、因不可导、连续. .它在它在(0,0)(0,0)处连续、可导、不可微处连续、可导、不可微. .连续但不可导可导但不连续可导但不可微它在它在(0,0)(0,0)处连续处连续. .可微可微例8. 讨论函数解: 由导数的定义知
8、在原点处连续、可导、不可微处连续、可导、不可微. .则求具体显函数的偏导数求求时，时， 把把x看成看成变量，变量， 其余变量均看成常量；其余变量均看成常量；求求时，时， 把把y看成看成变量，变量， 其余变量均看成常量；其余变量均看成常量；2)求一点处偏导数的方法：先代后求先求后代利用定义3) 求高阶偏导数的方法: 逐次求导法混合偏导数连续与求导顺序无关1)求偏导(函) 数的方法：二、多元函数微分法二、多元函数微分法同路相乘，同路相乘， 异路相加异路相加. . 单路全导单路全导, , 叉路偏导叉路偏导. .求抽象的复合函数的偏导数-链式法则例1.解:例2.解:法1：公式法：法3：微分法：谁看成变
9、量.时把谁看成常量，注意求法2：直接法： 两边求导，这时若对 求导，把 数谁是自变量， 把 均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则.谁是函数，两边微分，不用区分求隐函数 的偏导数也有类似的方法.请选用恰当的方法.求隐函数 的偏导数的三个方法隐函数的求导公式：隐函数的求导公式： 有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组解这个关于 的线性方程组即可.定理1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式) 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件 导数定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数
10、 z = f (x , y) , 满足 在点满足:某一邻域内可唯一确根据隐函数存在定理， 存在点 的一个邻域，在此领域内，该方程（A）只能确立一个具有连续偏导的隐函数（B）可以确立具有连续性偏导的隐函数（C）可以确立具有连续性偏导的隐函数（D）可以确立具有连续性偏导的隐函数设则例3.例4. 设解法1: 直接求导法再对 x 求导注意：对x求导时，应把y看成常量，把z看成x,y的函数.解法2: 利用公式设则两边对 x 求偏导例4. 设例4. 设解法3 : 利用微分法求导设求思考与练习:例5.设是由方程和所确定的函数 , 求解法 1:(99考研)这是由两个方程式组成的方程组两边对 x 求导得解法2:
11、 方程两边求微分, 得化简消去 即可得自变量个数 = 变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定例5.设是由方程和所确定的函数 , 求(99考研)1.在几何中的应用曲面 曲面在点1) 隐式情况 . 处的法向量曲面2) 显式情况. 法向量切点法线的方向余弦：求曲面的切平面及法线 ( (关键关键: : 抓住法向量抓住法向量) ) 向上三、多元函数微分法的应用求曲线的切线及法平面 ( (关键关键: : 抓住切向量抓住切向量) ) 1) 参数式情况.切点切向量2) 一般式情况.切点切向量例1.解解: :切向量为：切向量为：所求切线方程为：所求切线方程为：法平面为：法平面为：求曲线上对应于的点
12、处的切线及法平面方程.例2. 求曲线在点M (1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解: 令则切向量切线方程即法平面方程即2. 极值与最值问题 定义 :说明：(1)由定义知:极值点应在定义区域内部（内点 ）,而不能在边界上.(2)在点 (0,0) 有极小值 ;在点 (0,0) 有极大值;(3)二元函数的极值的概念可推广到三元以上的多元函数上.极值的必要条件与充分条件 定理1 (必要条件) 函数 偏导数,且在该点取得极值设可微函数 在点 取得极小值， 则下列结论正确的是（ ） 在 处的导数大于零 在 处的导数小于零在 处的导数等于零在 处的导数不存在2003注1几何意义：但在该点不取极值.
13、注2因函数在该点的偏导不存在.驻点极值点(可导函数)1.驻点2.偏导中至少有一个不存在的点.定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且若函数令时, 具有极值则: 1) 当A0 时取极小值 .2) 当时, 没有极值.3) 当时, 不能确定 , 需另行讨论.例1. 求函数解:解方程组得驻点(1,1),(0,0)故所求函数的极值为:对驻点(1,1):所以对驻点(0,0):所以函数在(0,0)处无极值.求函数的极值的一般步骤：第三步: 定出的符号，再判断是否为极值.求出在定义区域内部的实数解,第一步: 解方程组得驻点.第二步:求出二阶偏导数 的值A、B、C.对于每一个驻点极值问题无条
14、件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域内限制.对自变量除定义域内限制外, 还有其它条件限制.例如 ,转化求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数的极值问题,极值点必满足设 例如,故 极值点必满足引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.以上解正是的驻点.推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形. 例如, 求函数 下的极值.解方程组可得到条件极值的可疑点求解闭域上连续
15、函数最值问题有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：（假定函数在D上可微且有有限个驻点）（1）找最值可疑点 D内的驻点，不可导点边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为 所求的最大（小）值 . 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 函数的最值应用问题第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小. 根据问题的实际意义确定最值.第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件).解 :如图,设解方程组得条件极值的可疑点为：另解 求提示:3. 比较以上各点处的函数值，最大（小）者 即为所求的最大（小）值 . 练习：求函数在闭域2007研答案:函数的最值应用问题第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)例3.求旋转抛物面与平面 最短距离. 解：设为抛物面上任一点， 则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:到平面之间的令解此方程组得唯一驻点由实际
