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1、 ( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)教学基本要求与教学重点：教学基本要求与教学重点： 【1 1】了解弯曲切应力公式推导思想与各符号的意义了解弯曲切应力公式推导思想与各符号的意义 【2 2】会用弯曲正应力与切应力强度条件进行强度分析会用弯曲正应力与切应力强度条件进行强度分析【重点重点】 【3 3】掌握提高梁强度的主要措施掌握提高梁强度的主要措施降低最大弯矩值、提高抗弯截面系数降低最大弯矩值、提高抗弯截面系数复习：弯曲正应力公式复习：弯曲正应力公式弯曲内力的微分关系与切应力互等定理弯曲内力的微分关系与切应力互等定理 9393弯曲切应力弯曲切应力第第20
2、20讲讲 9 93 3、9 94 4、9 9 5 59595 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施9494梁的弯曲剪应力强度条梁的弯曲剪应力强度条 件件( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式实实 验验 平面假设平面假设 单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心 EIEIz z称为抗弯刚度称为抗弯刚度 (Flexural rigidity)(Fle
3、xural rigidity)复习复习纯弯曲正应力公式纯弯曲正应力公式( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: :MM为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩 y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论【1 1】应用公式时应用公式时, ,一般将一般将 MM, ,y y 以绝对值代入以绝对值代入. .根据梁变形的情根据梁变形的情 况直接判断况直接判断 的正负号的正负号. . 以中性轴为界，梁变形后
4、凸出边的应以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力力为拉应力( ( 为正号为正号). ).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力( ( 为负号为负号). ).【2 2】最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)（1 1）当）当 中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzD dy( Stresses in Beams)( Stresses in
5、Beams)zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和直接代入公式直接代入公式求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时, ,横截面上既又横截面上既又 弯矩又有剪力弯矩又有剪力. .梁在此梁在此 种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为横力弯曲横力弯曲( (NonuniformNonuniform bending) bending)复习复习横力弯曲时
6、的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时横力弯曲时, ,梁的横截面上既有正应力又有切应力梁的横截面上既有正应力又有切应力. .切应力使横切应力使横 截面发生翘曲截面发生翘曲, ,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力, ,纯纯 弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. .一、横力弯曲一、横力弯曲( (NonuniformNonuniform bending) bending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异, ,但进一步的分析表明但进一步的分析表明, , 工程中常用的梁工程中常用
7、的梁, ,纯弯曲时的正应力计算公式纯弯曲时的正应力计算公式, ,可以用于计算可以用于计算 横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力. .等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)二、公式的应用范围二、公式的应用范围(The applicable range of the flexure formula )(The applicable range of the flexure formula ) 1 1、 在弹性范围内在弹性范围内(All stresses in the
8、 beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional limit) 3 3、平面弯曲、平面弯曲（Plane bendingPlane bending）4 4、直梁、直梁（Straight beamsStraight beams）2 2、具有切应力的梁、具有切应力的梁（The beam with the shear stressThe beam with the shear stress）三、强度条件三、强度条件（Strength condition)Strength
9、 condition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1 1、数学表达式、数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula)( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)2 2、强度条件的应用、强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)(2)(2)设计截面设计截面(3)(3)确定许可载荷确定许可载荷(1) (1) 强度校核强度校核对于铸铁等对于铸铁等 脆性材料
10、脆性材料 ( (Brittle materials)Brittle materials)制成的梁制成的梁, ,由于材料的由于材料的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴 (Neutral axis)(Neutral axis) 一般也不是对称轴一般也不是对称轴, ,所以梁的所以梁的 ( (两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上) )要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力许用拉应力(Allowable tensile stress)(Allowable tensile stress)和和 许用压应力许用压应力 (Allowable compressive stre
11、ss)(Allowable compressive stress) ( Stresses in Beams)( Stresses in Beams) 复习弯曲内力的微分关系与切应力互等定理 【1】弯曲内力的微分关系 弯矩的导数等于剪力公式下面要用。 【2】切应力互等定理x xy yd dy yd dz zz zd dx x ( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力1 1、矩形截面梁、矩形截面梁93/ 9493/ 94弯曲切应力弯曲切应力梁的切应力及强度条梁的切应力及强度条 件件 (1)(1)两个假设两个假设(a
12、)(a) 横截面上各点处的切应力均与侧横截面上各点处的切应力均与侧 边平行（边平行（切应力与剪力平行切应力与剪力平行）(b)(b)切应力切应力沿截面宽度均匀分布沿截面宽度均匀分布 ( (即距中性轴等距离处切应力相等即距中性轴等距离处切应力相等) ) q(x)F1F2zyy hbzyO( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)思考：思考： 合理性？合理性？直接对应力分布进行假设切应力平行侧边切应力平行侧边切应力沿宽度方向均布切应力沿宽度方向均布(1)(1)两个假设两个假设假 设( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)m
13、nnmxyzobdxmmhn(2)(2)分析方法分析方法(a)(a)用横截面用横截面mm- -mm , , n n- -n n从梁中截从梁中截 取取d dx x一段一段. .两横截面上的弯矩不两横截面上的弯矩不 等等. .所以两截面同一所以两截面同一y y处的正应力处的正应力 也不等也不等. . (b)(b)假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元素素mBmB1 1，在两端面在两端面mAmA1 1, ,nBnB1 1上两个上两个法向内力不等法向内力不等. .A BB1A1mnxzyymq(x)F1F2mmnn xdxyABA1B1FN2FN1( Stresses in Beams)(
14、Stresses in Beams)mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)(c)在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力d dF Fs s. .故在此面上就有切故在此面上就有切应力应力，由切应力互等定理由切应力互等定理 （ 为为横截面上的切应力横截面上的切应力），），ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等，各点各点 的切应力方向均与截面侧边平行，的切应力方向均与截面侧边平行，取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出. .( Stresses
15、in Beams)( Stresses in Beams)ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)(3)公式推导公式推导假设假设mm- -mm, ,n n- -n n上的弯矩为上的弯矩为MM和和 MM+d+dMM. .两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为 y y1 1 处处 的正应力为的正应力为 1 1 和和 2 2. .mmn nn n( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)(3)公式推导公式推导 假设假设mm- -mm, ,n n- -n n上的弯矩为上的弯矩为MM和和 MM+d+dMM. .两截面上距中性轴为两截面上距中性轴为 y y1 1 处处 的正应力为的正应力为 1 1 和和 2 2. .A A* *为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横线以外部分 的横截面面积的横截面面积式中：式中：为面积为面积A A* *对中性轴的静矩对中性轴的静矩. .( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS( Stresses in Beams)( Stresses in Beams)b矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩
